Cauchy-Formel für mehrfache Integration

Mit der Cauchy-Formel für mehrfache Integration, benannt nach dem französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy, können gewisse ${\displaystyle n}$-te iterierte Integrale einer Funktion in einem einzigen Integral ausgedrückt werden.

Cauchys Formel

Sei ${\displaystyle f}$ eine stetige Funktion auf der reellen Achse.

Dann ist das ${\displaystyle n}$-te iterierte Integral von ${\displaystyle f}$ am Punkt ${\displaystyle x}$

${\displaystyle I^{n}(x)=\int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n-1}}f(\sigma _{n})\,\mathrm {d} \sigma _{n}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\,\mathrm {d} \sigma _{1}}$

durch das folgende Integral gegeben:

${\displaystyle I^{n}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t}$.

Beweis

Den Beweis erreicht man durch vollständige Induktion. Da ${\displaystyle f}$ stetig ist, kann man den Induktionsanfang mit dem Fundamentalsatz der Analysis herleiten.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}I^{1}(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t=f(x)}$;

wobei

${\displaystyle I^{1}(a)=\int _{a}^{a}f(t)\,\mathrm {d} t=0}$.

Nehmen wir an, die Formel ist richtig für ${\displaystyle n}$. Nun gilt es zu beweisen, dass die Formel für ${\displaystyle n+1}$ stimmt.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\right]={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t}$

Die Ableitung des Integrals kann man mit der Leibniz-Regel herleiten.

${\displaystyle {\begin{aligned}I^{n+1}(x)&=\int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n}}f(\sigma _{n+1})\,\mathrm {d} \sigma _{n+1}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&=\int _{a}^{x}{\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{\sigma _{1}}\left(\sigma _{1}-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&=\int _{a}^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \sigma _{1}}}\left[{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{\sigma _{1}}\left(\sigma _{1}-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\right]\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&={\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\end{aligned}}}$

Der Beweis ist damit abgeschlossen.

Riemann-Liouville-Integral

Cauchys Formel gilt nur für natürliche Zahlen, weil die Fakultät nur für diese definiert ist. Das Riemann-Liouville-Integral erlaubt die mehrfache Integration nicht nur für die reellen, sondern auch für die komplexen Zahlen, indem man ${\displaystyle (n-1)!}$ durch ${\displaystyle \Gamma (n)}$ ersetzt, wobei ${\displaystyle \Gamma }$ die Gammafunktion bezeichnet:

${\displaystyle I^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{x}f(t)(x-t)^{\alpha -1}\,dt}$.

Der Name wurde von Marcel Riesz in Anerkennung der Pionierarbeiten von Joseph Liouville und Bernhard Riemann gewählt.

Anwendungen

Mit ein paar Umformungsschritten ist es möglich auch eine Formel für die ${\displaystyle \alpha }$-te Ableitung zu finden.

Hier finden sich auch unter anderem Anwendungen wie zum Beispiel in der:

• Elektrochemie
• Rheologie
• Physik (Tautochron-Problem)