Dysons brownsche Bewegung

Dysons brownsche Bewegung ist die Lösung einer stochastischen Differentialgleichung, die eine Verbindung zwischen der stochastischen Analysis und der Theorie der Zufallsmatrizen macht. Sie beschreibt den Eigenwert-Prozess einer hermiteschen Zufallsmatrix, deren Einträge Ornstein-Uhlenbeck-Prozesse sind.

Sie ist nach Freeman Dyson benannt, der sie zuerst entdeckt hatte.

Theorem

Sei ${\displaystyle \Sigma ^{n}(x)=(\lambda _{1}(x),\dots ,\lambda _{n}(x))_{x\geq 0}}$ ein stochastischer Prozess mit ${\displaystyle \lambda _{1}(x)\leq \dots \leq \lambda _{n}(x)}$. Dann ist ${\displaystyle \Sigma ^{n}(x)}$ Dysons brownsche Bewegung falls sie die schwache Lösung für

${\displaystyle \mathrm {d} \Sigma _{i}^{n}(x)={\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {\beta n}}}\mathrm {d} B_{i}(x)+{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i\neq i'}{\frac {\mathrm {d} x}{\lambda _{i}(x)-\lambda _{i'}(x)}},\quad i=1,\dots ,n}$

ist, wobei ${\displaystyle \mathrm {d} B}$ eine ${\displaystyle n}$-dimensionale brownsche Bewegung ist. ${\displaystyle \Sigma ^{n}}$ ist der Eigenwert-Prozess der matrixwertigen Brownschen Bewegung mit ${\displaystyle \beta =\{1,2\}}$

${\displaystyle X^{n,\beta }(x)=X^{n,\beta }(0)+H^{n,\beta }(x),\quad x\geq 0}$

wobei ${\displaystyle H^{n,\beta }}$ eine hermitesche Zufallsmatrix ist mit Einträgen

${\displaystyle h_{k,l}={\begin{cases}{\frac {1}{\sqrt {\beta n}}}(B_{k,l}+i(\beta -1)B'_{k,l})&k<l\\{\frac {2}{\sqrt {\beta n}}}B_{l,l}&k=l\end{cases}}}$

und ${\displaystyle B_{k,l},B'_{k,l}}$ sind iid standard brownsche Bewegungen.