Kreiszahl

Die Kreiszahl $\pi$ , auch bezeichnet als Ludolphsche (andere Schreibweise Ludolfsche) Zahl oder Archimedes-Konstante, ist eine reelle mathematische Konstante.

Die Bezeichnung $\pi$ (gelesen ‚pi‘) als Anfangsbuchstabe des griechischen Worts περίμετρος – perímetros, „Umfang“ oder περιφέρεια – zu lateinisch peripheria, „Randbereich“ nimmt Bezug darauf, dass die Kreiszahl das Verhältnis der Länge einer Kreislinie (des Umfangs eines Kreises) zu der seines Durchmessers angibt. Die Zahl $\pi$ hat in allen Stellenwertsystemen unendlich viele, nicht-periodisch auftretende Nachkommastellen – ihre Dezimaldarstellung bis zur 50. Nachkommastelle lautet:

\pi =3{,}14159\,26535\,89793\,23846\,26433\,83279\,50288\,41971\,69399\,37510\,\dots

Wo keine besonders große Genauigkeit erforderlich ist, wird gerne mit dem Näherungswert 3,14 für $\pi$ gerechnet.

Die Zahl $\pi$ hat eine Reihe besonderer Eigenschaften, insbesondere ist sie transzendent und somit auch irrational, das heißt, sie kann nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden. Die enorme Bedeutung der Zahl $\pi$ liegt darin begründet, dass sie in vielen ganz unterschiedlichen mathematischen Teilgebieten und Theorien auftritt: neben der Geometrie etwa in der Analysis (insbesondere in der Funktionentheorie), der Kombinatorik, der Topologie, der Zahlentheorie und der Wahrscheinlichkeitstheorie sowie in der Physik.

Geschichte

Die Erforschung der Kreiszahl und Kreisberechnungen haben eine sehr lange mathematische Tradition. So hat der griechische Mathematiker Archimedes um das Jahr 250 v. Chr. Pi mit Hilfe von 96-seitigen Polygonen einen Wert zwischen 223/71 und 22/7 zugewiesen und damit die Kreiszahl auf zwei Nachkommastellen genau berechnet. Später haben die beiden chinesischen Mathematiker Liu Hui und Zu Chongzhi im Zeitraum 300 bis 500 auf Basis von Polygonen mit bis zu 12.288 Seiten Pi mit dem Näherungsbruch 355/113 auf 6 genaue Nachkommastellen bestimmt. In den westlichen Kulturen allerdings wurden über die Berechnungen des Archimedes hinaus lange Zeit keine weiteren Fortschritte erzielt.

Ab dem 16. Jahrhundert wurden in Europa die Forschungen zur Kreiszahl erneut aufgenommen, wobei sich seit dieser Zeit ein gewisser Wettlauf hinsichtlich der Berechnungsgenauigkeit einstellte. Geometrische Verfahren, die auf der Annäherung des Kreises durch Vielecke basierten, wurden zunehmend durch Methoden der Analysis ersetzt, vornehmlich Berechnungen über unendliche Reihen, die seit Begründung einer rigorosen Trigonometrie zur Verfügung standen. Für heutige Berechnungen ist die Anwendung des Chudnovsky-Algorithmus gängige Praxis.

Im Zeitraum 1761 bis 1768 konnte Johann Heinrich Lambert den mathematischen Beweis erbringen, dass $\pi$ eine irrationale Zahl ist. Dieses Ergebnis wurde 1882 von Ferdinand von Lindemann durch den Beweis, dass $\pi$ eine transzendente Zahl ist, verschärft. Damit grenzt sich die Kreiszahl auch von jenen irrationalen Zahlen ab, die als Lösungen einfacher Gleichungen „sichtbar“ werden. Damit sind Gleichungen gemeint, die nur aus ganzen Zahlen und einer endlichen Abfolge der vier Grundrechenarten aufgebaut sind (triviale Beispiele wie $1=1$ ausgenommen): Beispielsweise ist ${\sqrt {2}}$ zwar irrational, aber nicht transzendent, da sie Lösung der Gleichung $x^{2}-2=0$ ist. Allerdings bleiben viele Fragen weiterhin offen. Es wird zum Beispiel vermutet, dass $\pi$ eine normale Zahl ist, ihre Dezimalentwicklung also einem pseudozufälligen Verhalten unterworfen ist.

Herkunft der Bezeichnung

Die Bezeichnung Pi ( $\pi$ ) wurde erstmals von William Oughtred in seiner 1647 veröffentlichten Schrift Theorematum in libris Archimedis de Sphæra & Cylyndro Declaratio verwendet. Darin drückte er mit ${\tfrac {\pi }{\delta }}$ das Verhältnis von halbem Kreisumfang (semiperipheria) zu Halbmesser (semidiameter) aus, d. h. ${\tfrac {\pi }{\delta }}=3{,}1415\ldots$ Dieselben Bezeichnungen benutzte um 1664 auch der englische Mathematiker Isaac Barrow. Im Jahr 1697 nahm David Gregory ${\tfrac {\pi }{\rho }}$ für das Verhältnis von Umfang zu Radius.

59 Jahre später als Oughtred, nämlich im Jahr 1706, setzte der walisische Mathematiker William Jones in seiner Synopsis Palmariorum Matheseos als Erster den griechischen Kleinbuchstaben $\pi$ ein, um das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser auszudrücken. Erst im 18. Jahrhundert wurde $\pi$ durch Leonhard Euler populär. Er verwendete 1737 erstmals $\pi$ für die Kreiszahl, nachdem er zuvor $p$ verwendet hatte. Seitdem ist aufgrund der Bedeutung Eulers diese Bezeichnung allgemein üblich.

Definition

Es existieren mehrere gleichwertige Ansätze, die Kreiszahl $\pi$ zu definieren. Dass die erste und die zweite Definition dieselbe Zahl definieren, bewies bereits Archimedes von Syrakus (vergleiche Kreisfläche):

Die erste (klassische!) Definition in der Geometrie (siehe Bild) beruht auf der Proportionalität von Umfang und Durchmesser eines Kreises. Entsprechend lässt sich die Kreiszahl definieren als das Verhältnis von Umfang $U$ zum Durchmesser $d$ des Kreises. Die Kreiszahl entspricht demnach dem Quotienten und Proportionalitätsfaktor $\pi ={\tfrac {U}{d}}$ .
Der zweite geometrische Ansatz (siehe Bild) fußt auf dem Vergleich des Flächeninhalts $A$ eines Kreises mit dem Flächeninhalt des Quadrats über seinem Kreisradius (auch: Halbmesser) $r$ , also seinem halben Durchmesser. Aus Gründen der Ähnlichkeit sind diese beiden Flächeninhalte ebenfalls proportional. Entsprechend lässt sich die Kreiszahl $\pi$ definieren als der Quotient bzw. der Proportionalitätsfaktor $\pi ={\tfrac {A}{r^{2}}}$ . Man fasst diese zweite Definition in den Merksatz, dass sich eine Kreisfläche zur umgebenden Quadratfläche wie $\pi :4$ verhält.

In der Analysis geht man (nach Edmund Landau) oft so vor, zunächst die reelle Kosinusfunktion $\cos(x)$ über ihre Taylorreihe zu definieren und dann die Kreiszahl als das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des Kosinus festzulegen.
Weitere analytische Ansätze gehen auf John Wallis und Leonhard Euler zurück.

Dass die erste und die zweite Definition dieselbe Zahl definieren, bewies bereits Archimedes von Syrakus, vergleiche Kreisfläche. Der Umfang eines Kreises verhält sich also zu seinem Durchmesser genauso wie die Fläche des Kreises zum Quadrat des Radius, sprich $U:d=A:r^{2}$ . Das jeweilige Verhältnis – der Proportionalitätsfaktor – ist in beiden Fällen die Kreiszahl $\pi$ .

Eigenschaften

Irrationalität und Transzendenz

Die Zahl $\pi$ ist eine irrationale Zahl, also eine reelle, aber keine rationale Zahl. Das bedeutet, dass sie nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen $p,q\in \mathbb {Z}$ , also nicht als Bruch ${\tfrac {p}{q}}$ , dargestellt werden kann. Das wurde 1761 bis 1768 von Johann Heinrich Lambert bewiesen.

Tatsächlich ist die Zahl $\pi$ sogar transzendent, was bedeutet, dass es kein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom mit rationalen Koeffizienten gibt, das $\pi$ zur Nullstelle hat. So ist auch jede Zahl, die durch algebraische Operationen wie Addition und Multiplikation mit sich selbst und mit ganzen Zahlen aus $\pi$ erzeugt wird, wiederum transzendent. Das wurde erstmals von Ferdinand von Lindemann 1882 bewiesen.

Als Konsequenz ergibt sich daraus, dass es unmöglich ist, $\pi$ nur mit ganzen Zahlen oder Brüchen und Wurzeln auszudrücken, und dass die exakte Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal nicht möglich ist.

Bei der Kreiszahl $\pi$ handelt es sich jedoch um eine algebraische Periode, was unmittelbar aus deren geometrischer Natur als Fläche des Einheitskreises hervorgeht.

Die ersten 100 Nachkommastellen

Da $\pi$ eine irrationale Zahl ist, lässt sich ihre Darstellung in keinem Stellenwertsystem vollständig angeben: Die Darstellung ist stets unendlich lang und nicht periodisch. Bei den ersten 100 Nachkommastellen in der Dezimalbruchentwicklung

\pi =3{,}14159\;26535\;89793\;23846\;26433\;83279\;50288\;41971\;69399\;37510\;58209\;74944\;59230\;78164\;06286\;20899\;86280\;34825\;34211\;70679\ldots

(Folge A000796 in OEIS)

ist keine Regelmäßigkeit ersichtlich. Auch weitere Nachkommastellen genügen statistischen Tests auf Zufälligkeit (siehe auch Frage der Normalität).

Darstellung zu anderen Zahlenbasen

Im Binärsystem ausgedrückt ist (siehe OEIS-Folge OEIS:A004601)

\pi =11{,}0010\;0100\;0011\;1111\;0110\;1010\;1000\;1000\;1000\;0101\;1010\;0011\;0000\;1000\;1101\;0011\;0001\;0011\;0001\;1001\;1000\;1010\;0010\;1110\dots

.

Basen 3 bis 16 und 60
Die Darstellung zur Basis 3 hat die Gestalt (siehe OEIS-Folge OEIS:A004602) $\pi =10{,}0102\;1101\;2222\;0102\;1100\;2111\;1102\;2122\;2220\;1112\;0121\;2121\;2001\;2110\;0100\;1012\;2202\;2212\;0120\;1211\;1210\;1210\;1120\;0220\dots$ . Die Darstellung zur Basis 4 hat die Gestalt (siehe OEIS-Folge OEIS:A004603) $\pi =3{,}0210\;0333\;1222\;2020\;2011\;2203\;0020\;3103\;0103\;0121\;2022\;0232\;0003\;1300\;1303\;1010\;2210\;0021\;0320\;0202\;0221\;2133\;0301\;3100\dots$ . Die Darstellung zur Basis 5 hat die Gestalt (siehe OEIS-Folge OEIS:A004604) $\pi =3{,}0323\;2214\;3033\;4324\;1124\;1224\;0414\;0231\;4211\;1430\;2031\;0022\;0034\;4413\;2211\;0104\;0332\;1344\;0043\;2444\;0144\;1042\;3341\;3301\dots$ . Die Darstellung zur Basis 6 hat die Gestalt (siehe OEIS-Folge OEIS:A004605) $\pi =3{,}0503\;3005\;1415\;1241\;0523\;4414\;0531\;2532\;1102\;3012\;1444\;2004\;1152\;5255\;3314\;2033\;3131\;1355\;3513\;1233\;4553\;3410\;0151\;5434\dots$ . Die Darstellung zur Basis 7 hat die Gestalt (siehe OEIS-Folge OEIS:A004606) $\pi =3{,}0663\;6514\;3203\;6134\;1102\;6340\;2244\;6522\;2664\;3520\;6502\;4015\;5443\;2154\;2643\;1025\;1611\;5456\;5220\;0026\;2243\;6103\;3014\;4323\dots$ . Die Darstellung zur Basis 8 hat die Gestalt (siehe OEIS-Folge OEIS:A004607) $\pi =3{,}1103\;7552\;4210\;2643\;0215\;1423\;0630\;5056\;0067\;0163\;2112\;2011\;1602\;1051\;4763\;0720\;0202\;7372\;4616\;6116\;3310\;4505\;1202\;0746\dots$ . Die Darstellung zur Basis 9 hat die Gestalt (siehe OEIS-Folge OEIS:A004608) $\pi =3{,}1241\;8812\;4074\;4278\;8645\;1777\;6173\;1035\;8285\;1654\;5353\;4626\;5230\;1126\;3214\;5028\;3864\;0343\;5416\;3303\;0867\;8132\;7871\;5885\dots$ . Die Darstellung zur Basis 10 hat die Gestalt (siehe OEIS-Folge OEIS:A000796) $\pi =3{,}1415\;9265\;3589\;7932\;3846\;2643\;3832\;7950\;2884\;1971\;6939\;9375\;1058\;2097\;4944\;5923\;0781\;6406\;2862\;0899\;8628\;0348\;2534\;2117\dots$ . Für die Darstellung zur Basis 11 bis 16 werden die Ziffern 10 bis 15 kodiert als: Ziffer 10: ${\color {red}a}$ , Ziffer 11: ${\color {green}b}$ , Ziffer 12: ${\color {maroon}c}$ , Ziffer 13: ${\color {magenta}d}$ , Ziffer 14: ${\color {indigo}e}$ und Ziffer 15: ${\color {teal}f}$ Die Darstellung zur Basis 11 hat die Gestalt (siehe OEIS-Folge OEIS:A068436) $\pi =3{,}1615\;0702\;865{\color {red}a}\;4852\;3521\;5259\;7775\;2941\;8386\;6884\;8853\;163{\color {red}a}\;1{\color {red}a}54\;2130\;0465\;8065\;2273\;5053\;3715\;2717\;81{\color {red}a}6\;5637\;1578\;1334\dots$ . Die Darstellung zur Basis 12 hat die Gestalt (siehe OEIS-Folge OEIS:A068437) $\pi =3{,}1848\;0949\;3{\color {green}b}91\;8664\;573{\color {red}a}\;6211\;{\color {green}b}{\color {green}b}15\;1551\;{\color {red}a}057\;2929\;0{\color {red}a}78\;09{\color {red}a}4\;9274\;2140\;{\color {red}a}60{\color {red}a}\;5525\;6{\color {red}a}06\;61{\color {red}a}0\;3753\;{\color {red}a}3{\color {red}a}{\color {red}a}\;5480\;5646\;8801\;81{\color {red}a}3\dots$ . Die Darstellung zur Basis 13 hat die Gestalt (siehe OEIS-Folge OEIS:A068438) $\pi =3{,}1{\color {red}a}{\color {maroon}c}1\;0490\;52{\color {red}a}2\;{\color {maroon}c}773\;69{\color {maroon}c}0\;{\color {green}b}{\color {green}b}89\;{\color {maroon}c}{\color {maroon}c}98\;8327\;8298\;358{\color {green}b}\;3701\;6030\;6133\;{\color {maroon}c}{\color {red}a}5{\color {red}a}\;{\color {maroon}c}{\color {green}b}{\color {red}a}5\;7614\;{\color {green}b}65{\color {green}b}\;4100\;20{\color {maroon}c}2\;2{\color {green}b}4{\color {maroon}c}\;7145\;7{\color {red}a}95\;5{\color {red}a}5\dots$ . Die Darstellung zur Basis 14 hat die Gestalt (siehe OEIS-Folge OEIS:A068439) $\pi =3{,}1{\color {magenta}d}{\color {red}a}7\;5{\color {maroon}c}{\color {magenta}d}{\color {red}a}\;8137\;5427\;{\color {red}a}40{\color {red}a}\;{\color {green}b}{\color {maroon}c}{\color {green}b}1\;{\color {green}b}{\color {magenta}d}47\;549{\color {maroon}c}\;89{\color {green}b}{\color {maroon}c}\;{\color {green}b}686\;1{\color {magenta}d}33\;27{\color {maroon}c}7\;40{\color {maroon}c}{\color {red}a}\;{\color {green}b}809\;{\color {red}a}52{\color {magenta}d}\;0{\color {magenta}d}{\color {magenta}d}5\;1718\;7450\;4{\color {red}a}54\;81{\color {maroon}c}{\color {maroon}c}\;9154\;90{\color {green}b}{\color {green}b}\;5\dots$ . Die Darstellung zur Basis 15 hat die Gestalt (siehe OEIS-Folge OEIS:A068440) $\pi =3{,}21{\color {maroon}c}{\color {magenta}d}\;1{\color {magenta}d}{\color {maroon}c}4\;6{\color {maroon}c}2{\color {green}b}\;7{\color {indigo}e}50\;8484\;773{\color {indigo}e}\;0691\;9{\color {magenta}d}1{\color {indigo}e}\;5096\;3{\color {magenta}d}{\color {green}b}7\;9{\color {maroon}c}69\;739{\color {indigo}e}\;{\color {red}a}373\;1{\color {indigo}e}79\;{\color {maroon}c}{\color {magenta}d}{\color {indigo}e}1\;0{\color {red}a}8{\color {indigo}e}\;{\color {magenta}d}4{\color {maroon}c}6\;30{\color {red}a}8\;3{\color {green}b}9{\color {green}b}\;5{\color {magenta}d}{\color {red}a}4\;64{\color {red}a}9\;152\dots$ Die Darstellung zur Basis 16 hat die Gestalt (siehe OEIS-Folge OEIS:A062964) $\pi =3{,}243{\color {teal}f}\;6{\color {red}a}88\;85{\color {red}a}3\;08{\color {magenta}d}3\;1319\;8{\color {red}a}2{\color {indigo}e}\;0370\;7344\;{\color {red}a}409\;3822\;299{\color {teal}f}\;31{\color {magenta}d}0\;082{\color {indigo}e}\;{\color {teal}f}{\color {red}a}98\;{\color {indigo}e}{\color {maroon}c}4{\color {indigo}e}\;6{\color {maroon}c}89\;4528\;21{\color {indigo}e}6\;38{\color {magenta}d}0\;1377\;{\color {green}b}{\color {indigo}e}54\;66{\color {maroon}c}{\color {teal}f}\;34{\color {indigo}e}9\dots$ . Bezüglich Gestalt zur Basis 60 siehe OEIS-Folge OEIS:A060707.

Kettenbruchentwicklungen

Eine alternative Möglichkeit, reelle Zahlen darzustellen, ist die Kettenbruchentwicklung. Da $\pi$ irrational ist, ist diese Darstellung unendlich lang, und, da es keine quadratisch irrationale Zahl ist, ist sie nicht periodisch. Der reguläre Kettenbruch der Kreiszahl beginnt so:

\pi =3+{\frac {1}{7+{\frac {1}{15+{\frac {1}{1+{\frac {1}{292+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}

Eine mit der regulären Kettenbruchentwicklung verwandte Entwicklung von $\pi$ ist diejenige als negativ-regelmäßiger Kettenbruch (Folge A280135 in OEIS):

\pi =4-{\frac {1}{2-{\frac {1}{2-{\frac {1}{2-{\frac {1}{2-{\frac {1}{2-{\frac {1}{2-{\frac {1}{17-{\frac {1}{294-\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}

Anders als bei der Eulerschen Zahl $e$ konnten bislang (2000) bei der regulären Kettenbruchdarstellung von $\pi$ keine Muster oder Gesetzmäßigkeiten festgestellt werden.

Jedoch gibt es nicht-reguläre Kettenbruchdarstellungen von $\pi$ , bei denen einfache Gesetzmäßigkeiten erkennbar sind:

\pi =3+{\frac {1^{2}}{\scriptstyle 6+{\frac {3^{2}}{6+{\frac {5^{2}}{6+{\frac {7^{2}}{6+{\frac {9^{2}}{6+{\frac {11^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}}}}}={\frac {4}{1+{\frac {1^{2}}{2+{\frac {3^{2}}{2+{\frac {5^{2}}{2+{\frac {7^{2}}{2+{\frac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}={\frac {4}{\scriptstyle 1+{\frac {1^{2}}{3+{\frac {2^{2}}{5+{\frac {3^{2}}{7+{\frac {4^{2}}{9+{\frac {5^{2}}{11+\ddots }}}}}}}}}}}}

Näherungsbrüche der Kreiszahl

Aus ihrer regulären Kettenbruchdarstellung ergeben sich als beste Näherungsbrüche der Kreiszahl (Zähler-Folge A002485 in OEIS bzw. Nenner-Folge A002486 in OEIS) die folgenden:

Nähe- rung	Kettenbruch	Näherungs- bruch	Dezimaldarstellung (erste abweichende Ziffer in rot)	Absoluter Fehler mittels Umfangsberechnung eines Kreises mit 1000 km Durchmesser
${\frac {m_{0}}{n_{0}}}$	$[3]$	${\frac {3}{1}}$	$3{,}{\color {red}0}$	−141,59 km
${\frac {m_{1}}{n_{1}}}$	$[3;7]$	${\frac {22}{7}}$	$3{,}14{\color {red}2\ldots }$	+1,26 km
${\frac {m_{2}}{n_{2}}}$	$[3;7,15]$	${\frac {333}{106}}$	$3{,}1415{\color {red}0\ldots }$	−83,22 m
${\frac {m_{3}}{n_{3}}}$	$[3;7,15,1]$	${\frac {355}{113}}$	$3{,}14159\,2{\color {red}9\ldots }$	+26,68 cm (relativer Fehler +0,2668 ppm)
${\frac {m_{4}}{n_{4}}}$	$[3;7,15,1,292]$	${\frac {103993}{33102}}$	$3{,}14159\,2653{\color {red}0\ldots }$	−0,58 mm
${\frac {m_{5}}{n_{5}}}$	$[3;7,15,1,292,1]$	${\frac {104348}{33215}}$	$3{,}14159\,2653{\color {red}9\ldots }$	+0,33 mm
$\vdots$
${\frac {m_{10}}{n_{10}}}$	$[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3]$	${\frac {4272943}{1360120}}$	$3{,}14159\,26535\,89{\color {red}3\ldots }$	−0,4 µm (Wellenlänge blauen Lichts)
$\vdots$
${\frac {m_{20}}{n_{20}}}$	$[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,$ $\;\;3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1]$	${\frac {21053343141}{6701487259}}$	$3{,}14159\,26535\,89793$ $\;\;\,23846\,2{\color {red}3\ldots }$	−2,6 · 10⁻¹⁶ m (kleiner als ein Proton)

Der absolute Fehler in der Praxis wird dabei schnell vernachlässigbar: Mit der 20. Näherung ${\tfrac {m_{20}}{n_{20}}}$ stimmen 21 Nachkommastellen mit denen der Kreiszahl $\pi$ überein. Mit diesem Näherungsbruch wäre erst der Umfang eines Kreises von etwa 3,8 Billiarden Kilometer Durchmesser (das entspricht der Entfernung zum Polarstern) um einen Millimeter falsch (nämlich zu kurz) berechnet.

Der exakte Wert des Irrationalitätsmaßes von $\pi$ , also wie gut sich die Kreiszahl von rationalen Zahlen approximieren lässt, ist jedoch bis jetzt nicht bekannt.

Praktische Anwendung

Beispiel in der Programmiersprache Forth

Sphärische Geometrie

In der Kugelgeometrie ist der Begriff Kreiszahl ungebräuchlich, da für Kreise auf einer Kugeloberfläche das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser (stets ein Kreisbogen, siehe Rolle der Geraden) von deren Größe abhängig und kleiner als $\pi$ ist (Für einen Großkreis ist das Verhältnis genau $2$ , nur für infinitesimale kleine Kreise beträgt der Wert $\pi$ ). Für einen Kreis mit einem sehr viel kleineren Durchmesser als dem der Kugel, auf deren Oberfläche er „gezeichnet“ wird, ist die Krümmung der Kugelfläche gegenüber der euklidischen Kreisebene meist vernachlässigbar klein (So beträgt für einen Kreis mit 1 m Durchmesser auf der kugeligen Erdoberfläche der Fehler etwa $10^{-15}$ ), bei größeren Kreisen und/oder hoher Präzisionsanforderung muss sie berücksichtigt werden.

Normalität

Es ist ungeklärt, ob $\pi$ eine normale Zahl ist, das heißt, ob ihre binäre (oder jede andere n-äre) Zahlendarstellung jede mögliche endliche Binär- bzw. sonstige Zifferngruppe gleichermaßen enthält – so wie es die Statistik erwarten ließe, wenn man eine Zahl vollkommen nach dem Zufall erzeugte. Umgekehrt wäre es beispielsweise auch denkbar, dass irgendwann nur noch zwei Ziffern in unregelmäßiger Folge auftreten.

Wenn $\pi$ eine normale Zahl ist, dann enthält ihre (nur theoretisch mögliche) vollständige Stellenwertdarstellung alle nur denkbaren Muster, zum Beispiel sämtliche bisher und zukünftig geschriebenen Bücher in codierter Binärform (analog zum Infinite-Monkey-Theorem).

Bailey und Crandal zeigten im Jahr 2000 mit der Bailey-Borwein-Plouffe-Formel, dass die Normalität von $\pi$ zur Basis 2 auf eine Vermutung der Chaostheorie reduziert werden kann.

Physiker der Purdue-Universität haben im Jahre 2005 die ersten 100 Millionen Dezimalstellen von $\pi$ auf ihre Zufälligkeit hin untersucht und mit kommerziellen Zufallszahlengeneratoren verglichen. Der Forscher Ephraim Fischbach und sein Mitarbeiter Shu-Ju Tu konnten dabei keinerlei verborgene Muster in der Zahl $\pi$ entdecken. Demnach sei nach Ansicht Fischbachs die Zahl $\pi$ tatsächlich eine gute Quelle für Zufälligkeit. Allerdings schnitten einige Zufallszahlengeneratoren noch besser als $\pi$ ab.

Feynman-Punkt

Die auffälligste und bekannteste „Unzufälligkeit“ in den ersten 1000 Dezimalstellen ist der Feynman-Punkt, eine Folge von sechs Neunen ab der 762. Stelle. Das wirkt deshalb erstaunlich, weil es unter den ersten 1000 Dezimalstellen nur fünf genaue Dreifachfolgen und überhaupt keine genauen Vier- oder Fünffachfolgen gibt. Die zweite Sechsfachfolge beginnt an der 193034. Dezimalstelle und besteht wieder aus Neunen.

Entwicklung von Berechnungsverfahren

Die Notwendigkeit, den Umfang eines Kreises aus seinem Durchmesser zu ermitteln oder umgekehrt, stellt sich im ganz praktischen Alltag: Man braucht solche Berechnungen zum Beschlagen eines Rades, zum Einzäunen runder Gehege, zum Berechnen der Fläche eines runden Feldes oder des Rauminhalts eines zylindrischen Getreidespeichers. Daher suchten Buchhalter und Wissenschaftler, vor allem Mathematiker und Astronomen, seit der Antike nach immer genaueren Näherungswerten für die Kreiszahl. Wesentliche Beiträge lieferten etwa ägyptische, babylonische und griechische Wissenschaftler, im Mittelalter vor allem chinesische und persische Wissenschaftler, in der Neuzeit französische, englische, schottische, deutsche und schweizerische Wissenschaftler. In der jüngeren Geschichte gerieten die Bestrebungen zur größtmöglichen Annäherung an $\pi$ phasenweise zu einer regelrechten Rekordjagd, die zuweilen skurrile und auch aufopfernde Züge annahm.

Erste Näherungen

Die Babylonier benutzten ca. 1900–1600 v. Chr. die wahrscheinlich älteste $\pi$ -Näherung. Hervor geht dies aus einer 1936 ausgegrabenen Tontafel. Der darin ersichtliche Ansatz – umgerechnet aus dem verwendeten Zahlensystem zur Basis 60 – war:

Der Umfang eines einbeschriebenen Sechsecks $(3d)$ ist ${\tfrac {24}{25}}=0{,}96$ -mal so groß wie der Umfang des umschreibenden Kreises.

Mit Berücksichtigung des Zahlensystems zur Basis 60 gilt im Einheitskreis $r=1$ :

\pi \approx {\frac {3}{{\frac {57}{60}}+{\frac {36}{3600}}}}=3+{\frac {1}{8}}=3{,}125=\pi -0{,}0165\ldots

Oder einfach nur $3$ , solange dessen Abweichung von gut $4{,}5\ \%$ nicht ins Gewicht fiel.

Das älteste bekannte Rechenbuch der Welt, der altägyptische Papyrus Rhind aus der Mitte des 16. Jahrhunderts v. Chr., nennt den Wert

\left({\frac {16}{9}}\right)^{2}=3{,}16049\ldots =\pi +0{,}0189\ldots

was vom tatsächlichen Wert nur um rund $0{,}60\ \%$ abweicht. Dieser Wert wurde gefunden (siehe Bild), als die Annäherung des Flächeninhalts eines Kreises über ein unregelmäßiges Achteck zu einem Quadrat (rot) mit nahezu gleichem Flächeninhalt führte. Bei einem Kreis mit Durchmesser $d=2$ ist der Flächeninhalt dieses Quadrats

\left({\frac {8}{9}}\cdot 2\right)^{2}={\frac {256}{81}}=3{,}16049\ldots =\pi +0{,}0189\ldots

Der Wert $3$ findet sich auch in der biblischen Beschreibung des Wasserbeckens, das für den Jerusalemer Tempel geschaffen wurde:

„Dann machte er das Meer. Es wurde aus Bronze gegossen und maß 10 Ellen von einem Rand zum anderen; es war völlig rund und 5 Ellen hoch. Eine Schnur von 30 Ellen konnte es rings umspannen.“

– Jeremia: Bibel, 1. Buch der Könige, Kapitel 7 Ausstattung des Tempels, Vers 23, König Salomo, Ḥīrām aus Tyrus formte das Meer, ein Wasserbecken aus Bronze.

Die Inder nahmen um 800 v. Chr. für die Kreiszahl den Wert aus der Baudhayana-Sulbasutra. Die Sulbasutras (Schnurregeln) enthalten alle eine Methode zur Quadratur des Kreises. Bei einem Kreis (siehe Bild) mit Durchmesser $d=2$ ist der Flächeninhalt des Quadrats (rot)

\left({\frac {13}{15}}\cdot 2\right)^{2}={\frac {676}{225}}=3{,}00{\overline {4}}=\pi -0{,}1371\ldots

Archimedes von Syrakus

In der Zeit des griechischen Mathematikers Archimedes (3. Jahrhundert v. Chr.) war es noch nicht möglich festzustellen, ob $\pi$ eine rationale oder irrationale Zahl ist. Zwar war den griechischen Philosophen mit der Irrationalität von ${\sqrt {2}}$ die Existenz derartiger Zahlen bekannt, dennoch gab es keinen Grund, bei einem Kreis von vornherein eine rationale Darstellbarkeit der Flächenberechnung auszuschließen. Denn es gibt durchaus allseitig krummlinig begrenzte Flächen, die sich als rationale Zahl darstellen lassen, sogar von Kreisteilen eingeschlossene wie die Möndchen des Hippokrates. Dies galt als Beispiel für eine rationale Darstellbarkeit von Kreisausschnitten, weshalb es lange für möglich gehalten wurde, dass auch die Kreiszahl selbst rational ist.

Annäherung durch Vielecke

Archimedes gelang es um 250 v. Chr. in seinem Werk Die Kreismessung, die Kreiszahl mathematisch einzugrenzen, d. h., eine Ober- und Unterschranke anzugeben. Hierzu näherte er sich wie auch andere Mathematiker mit regelmäßigen Vielecken dem Kreis an, um Näherungswerte für $\pi$ zu gewinnen. Mit umbeschriebenen und einbeschriebenen Vielecken, beginnend bei Sechsecken, durch wiederholtes Verdoppeln der Eckenzahl bis zu 96-Ecken, berechnete er obere und untere Schranken für den Kreisumfang. Er kam zu der Abschätzung, dass das gesuchte Verhältnis etwas kleiner als $3+{\tfrac {10}{70}}$ sein müsse, jedoch größer als $3+{\tfrac {10}{71}}$ :

3{,}1408450\approx 3+{\frac {10}{71}}<\pi <3+{\frac {10}{70}}\approx 3{,}1428571

Laut Heron besaß Archimedes eine noch genauere Abschätzung, die aber falsch überliefert ist:

3+{\frac {9552}{67441}}<\pi <3+{\frac {10835}{62351}}\quad (3{,}1416349<\pi <3{,}1737743)

Wilbur Knorr korrigierte zu:

3+{\frac {8915}{62991}}<\pi <3+{\frac {9552}{67441}}\quad (3{,}1415281<\pi <3{,}1416349)

In den westlichen Kulturen stellten diese Berechnungen von Archimedes über eine sehr lange Zeit – wie in manchen anderen gesellschaftlichen und kulturellen Bereichen auch – den Status quo in Bezug auf die Genauigkeit der Kenntnis von $\pi$ dar. Erst im 16. Jahrhundert erwachte das Interesse wieder.

Näherung für den praktischen Alltag

Handwerker benutzten in dieser Zeit – und bis vor Rechenschieber und Taschenrechner – die Näherung Archimedes

{\frac {22}{7}}=3{,}142857\ldots =\pi +0{,}0012\ldots

und errechneten damit vieles im Kopf. Der Fehler gegenüber $\pi$ beträgt etwa $0{,}04\ \%$ . In den meisten Fällen liegt das innerhalb der möglichen Fertigungsgenauigkeit und ist damit völlig ausreichend. Die Näherung ist anders formuliert Teil der oben beschriebenen Abschätzung $3+{\tfrac {10}{70}}$ .

3. bis 15. Jahrhundert

Fortschritte in der Annäherung an $\pi$ erzielten in der Zeit des 3. bis 15. Jahrhunderts vor allem chinesische und persische Wissenschaftler.

Im dritten Jahrhundert bestimmte Liu Hui aus dem 192-Eck die Schranken $3{,}141024$ und $3{,}142704$ sowie später aus dem 3072-Eck den Näherungswert $3{,}1416$ .

Um 480 berechnete der chinesische Mathematiker und Astronom Zu Chongzhi (429–500) für die Kreiszahl $3{,}1415926<\pi <3{,}1415927$ . „Dieses Intervall war mit seinen 7 genauen Nachkommastellen 800 Jahre lang Weltrekord. Von ihm stammt auch der fast genauso gute Näherungsbruch“

{\begin{aligned}{\frac {355}{113}}&=3{,}1415929\ldots =\pi +0{,}000000266\ldots \\&=3+{\frac {1}{7+{\frac {1}{15+{\frac {1}{1}}}}}}=[3;7,15,1]\\\end{aligned}}

Immerhin sind sechs Nachkommastellen gleich mit denen in $\pi$ . Es ist der dritte Näherungsbruch der Kettenbruchentwicklung von $\pi$ (siehe hierzu auch Abschnitt Kettenbruchentwicklungen), der in Europa erst im 16. Jahrhundert gefunden wurde (Adriaan Metius, deshalb auch Metius-Wert genannt).

Der indische Mathematiker und Astronom Aryabhata beschreibt 499 in seinem Werk Aryabhatiya seine Formel bezüglich Verhältnis des Kreisumfangs zum Durchmesser:

Freie Übersetzung:

“Addiere 4 zu 100, multipliziere die Summe mit 8 und addiere 62.000. Das Ergebnis ist ungefähr der Umfang eines Kreises mit einem Durchmesser von 20.000.”

– Aryabhata: Mac Tutor

{\frac {62832}{20000}}=3{,}1416=\pi +0{,}00000734\ldots

.

Das Ergebnis liegt nur um rund $0{,}00023\ \%$ zu hoch.

Um 650 entdeckte der Hindu Brahmagupta, dass von den regelmäßigen Vielecken mit 12, 24, 48 und 96 Ecken mit einem Durchmesser $d=10$ die Umfänge folgende (gerundete) Werte aufweisen: ${\sqrt {965}},\;{\sqrt {981}},\;{\sqrt {986}}$ und ${\sqrt {987}}.$ Er folgerte daraus, dass durch fortgesetzter Verdoppelung der Seitenzahlen, der Wert des Umfangs nach ${\sqrt {1000}}$ (richtig ist allerdings ${\sqrt {986{,}96\ldots }}$ ) streben könnte. Deshalb „erfand“ er den Wert:

{\frac {\sqrt {1000}}{10}}={\sqrt {10}}=3{,}16227\ldots =\pi +0{,}0206\ldots

.

Im 14. Jahrhundert berechnete Zhao Youqin die Kreiszahl über ein 16384-Eck und erhielt für den Kreisumfang den Wert $3{,}141592\ldots$ , das heißt, sechs Nachkommastellen gleichen denen von $\pi$ . Das nebenstehende Bild zeigt prinzipiell Zhao Youqins Algorithmus zur Berechnung von $\pi .$ Die Ausgangsfigur ist ein von einem Kreis einbeschriebenes Quadrat. Um die Seitenlänge $a$ eines 16384-Ecks zu bestimmen, musste Zhao Youqin, beginnend beim Quadrat, zwölf $(4\cdot 2^{12}=16384)$ Mittelpunktswinkel $\mu$ halbieren (Iterationen). Die Vermutung liegt nahe, dass Zhao Youqin bei der Berechnung den Kreisabschnitt und den Satz des Pythagoras nutzte. Die trigonometrischen Tabellen für Sinus und Kosinus wurden erst etwa 100 Jahre später von Georg von Peuerbach und Regiomontanus erstellt. Aufgrund dessen lässt sich heute die von Zhao Youqin gefundene $\pi$ -Näherung $3{,}141592$ einfach überprüfen. Zuerst ist die Seitenlänge $a$ des 16384-Ecks zu bestimmen, anschließend wird der Flächeninhalt des 16384-Eck ermittelt und mit dem Flächeninhalt $A$ des Kreises mit Radius $r\;=1\;({\widehat {=}}\;\pi )$ verglichen.

{\begin{aligned}a_{16384}&=2\cdot \sin {\frac {\mu }{2}}=2\cdot \sin \left({\frac {\frac {360^{\circ }}{16384}}{2}}\right)=0{,}000383495194\ldots \\A_{16384}&={\frac {n\ \!a^{2}}{4}}\cdot \cot {\frac {\pi }{n}}={\frac {16384\cdot 0{,}000383495194^{2}}{4}}\cdot \cot {\frac {180^{\circ }}{16384}}\\[0.7ex]&=3{,}141592{\color {red}566}\ldots \end{aligned}}

Die Nachrechnung zeigt ebenfalls: 6 Nachkommastellen sind gleich denen von $\pi .$

Im Jahr 1424 erbrachte Dschamschid Masʿud al-Kaschi (al-Kaschi) mit seinem abgeschlossenen Werk „Abhandlung über den Kreis“ eine beachtenswerte Leistung. Darin zeigt er u. a. eine Berechnung des Kreisumfangs $2\pi$ . Sein Ansatz war ein regelmäßiges Vieleck mit einem Umkreisradius $r=60$ und die Seitenlänge kleiner als ${\tfrac {8}{60^{4}}}$ . So kam er auf das regelmäßige Vieleck mit $3\cdot 2^{28}$ gleich $805306368$ Seiten. Im Sexagesimalsystem ausgedrückt ist dies ein 1,2,8,16,12,48-Eck. Al-Kaschi führte die Berechnungen mit dem Sexagesimalsystem (zur Basis 60) durch sowie erstmalig in der islamischen Mathematik mit Dezimalbrüchen. Der Zeitaufwand dafür muss – aus heutiger Sicht – extrem hoch gewesen sein, die dafür erforderlichen trigonometrischen Tabellen für Sinus und Kosinus von Georg von Peuerbach (1423–1461) und Regiomontanus erstellt, standen – wie bereits weiter oben erwähnt – noch nicht zur Verfügung.

Mit den heute vorhandenen Mitteln ist es einfach, zuerst die Seitenlänge $a_{\mathrm {Vieleck} }$ und dann den doppelten Flächeninhalt $2\cdot A_{\mathrm {Vieleck} }$ des Vielecks zu bestimmen. Abschließend wird der doppelte Flächeninhalt des Vielecks mit dem Kreisumfang des Einheitskreises $r\;=1\;({\widehat {=}}\;2\pi )$ verglichen.

{\begin{aligned}a_{\mathrm {Vieleck} }\;&=2\cdot \sin {\frac {\mu }{2}}=2\cdot \sin \left({\frac {\frac {360^{\circ }}{3\cdot 2^{28}}}{2}}\right)=7{,}80222\,97560\,91518\,279\cdot 10^{-9}\ldots \\2\cdot A_{\mathrm {Vieleck} }&={\frac {n\ \!a^{2}}{2}}\cdot \cot {\frac {\pi }{n}}={\frac {3\cdot 2^{28}\cdot \left(7{,}80222\,97560\,91518\,279\cdot 10^{-9}\right)^{2}}{2}}\cdot \cot {\frac {180^{\circ }}{3\cdot 2^{28}}}\\[0.7ex]&=6{,}28318\,53071\,79586\,4{\color {red}13}\ldots .\end{aligned}}

Das Nachrechnen mit 18 Dezimalstellen der berechneten Seitenlänge $a_{\mathrm {Vieleck} }$ liefert sogar 16 Nachkommastellen gleich denen von $2\pi .$ Der überlieferte Näherungswert $6{,}28318\,53071\,79586\,{\color {red}5}$ (15 gleiche Nachkommastellen) konnte erst 1596 von Ludolph van Ceulen (im Folgenden beschrieben) deutlich verbessert werden.

16. bis 19. Jahrhundert

Allgemeiner Verlauf

In Europa gelang es Ludolph van Ceulen 1596, die ersten 35 Dezimalstellen von $\pi$ zu berechnen. Angeblich opferte er 30 Jahre seines Lebens für diese Berechnung. Van Ceulen steuerte allerdings noch keine neuen Gedanken zur Berechnung bei. Er rechnete einfach nach der Methode des Archimedes weiter, aber während Archimedes beim 96-Eck aufhörte, setzte Ludolph die Rechnungen bis zum einbeschriebenen $2^{62}$ -Eck fort.

Der französische Mathematiker François Viète variierte 1593 die Archimedische Exhaustionsmethode, indem er den Flächeninhalt eines Kreises durch eine Folge einbeschriebener $2^{n}$ -Ecke annäherte. Daraus leitete er als Erster eine geschlossene Formel für $\pi$ in Form eines unendlichen Produktes ab:

{\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \dots

{\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdot \dots

Der englische Mathematiker John Wallis, der 1655 das nach ihm benannte wallissche Produkt entwickelte, zeigte im gleichen Jahr die Viète-Reihe Lord Brouncker, dem ersten Präsidenten der „Royal Society“, der die Gleichung als Kettenbruch wie folgt darstellte:

{\frac {4}{\pi }}=1+{\frac {1^{2}}{2+\textstyle {\frac {3^{2}}{2+\textstyle {\frac {5^{2}}{2+\textstyle {\frac {7^{2}}{2+\textstyle {\frac {9^{2}}{\;\,\ddots }}}}}}}}}}

Gottfried Wilhelm Leibniz steuerte 1682 folgende Reihendarstellung bei:

{\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}\mp \dotsb

Siehe auch Kreiszahlberechnung nach Leibniz.

Diese war indischen Mathematikern bereits im 15. Jahrhundert bekannt. Leibniz entdeckte sie für die europäische Mathematik neu und bewies die Konvergenz dieser unendlichen Summe. Die obige Reihe ist wegen $\arctan 1={\tfrac {\pi }{4}}$ auch ein Spezialfall ( $\theta =1$ ) der Reihenentwicklung des Arkustangens, die der indische Mathematiker Madhava um ca. 1400 fand und auf die der schottische Mathematiker James Gregory in den 1670er Jahren zurückkam:

\arctan \theta ={\frac {\theta ^{1}}{1}}-{\frac {\theta ^{3}}{3}}+{\frac {\theta ^{5}}{5}}-{\frac {\theta ^{7}}{7}}\pm \dotsb

Sie war in der Folgezeit Grundlage vieler Approximationen von $\pi$ , die alle lineare Konvergenzgeschwindigkeit haben.

Im Jahr 1706 beschrieb William Jones in seinem Werk Synopsis palmariorum matheseos die von ihm entwickelte Reihe, mit der er 100 Nachkommastellen von $\pi$ bestimmte.

„Let

\,\alpha =2{\sqrt {3}}

. [ … ] Then

\pi =\alpha -{\frac {1}{3}}{\frac {3\alpha }{9}}+{\frac {1}{5}}{\frac {\alpha }{9}}-{\frac {1}{7}}{\frac {3\alpha }{9^{2}}}+{\frac {1}{9}}{\frac {\alpha }{9^{2}}}-{\frac {1}{11}}{\frac {3\alpha }{9^{3}}}+{\frac {1}{13}}{\frac {\alpha }{9^{3}}}

, &c.“

was auf der Reihenentwicklung von $\arctan {\tfrac {1}{\sqrt {3}}}=30^{\circ }$ beruht und aus der sich $\ \pi =6\arctan {\tfrac {1}{\sqrt {3}}}={\tfrac {6}{\sqrt {3}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {(-1)^{k}}{(2k+1)3^{k}}}=2{\sqrt {3}}\ \sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {1}{(4k+1)9^{k}}}-{\tfrac {3}{(4k+3)9^{k+1}}}\$ ergibt.

Im selben Jahr 1706 berechnete John Machin mit seiner Formel

{\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}

gleichfalls die ersten 100 Dezimalstellen von $\pi$ . Die Formel ist über das Additionstheorem des Arkustangens zu gewinnen – oder gleichwertig durch Betrachtung der komplexen Zahl, bestehend aus Potenzen ganzzahliger, so genannter Gaußscher Zahlen, mit ganzzahligen Exponenten

(5+\mathrm {i} )^{4}\cdot (239-\mathrm {i} )=114244+114244\;\mathrm {i} =(1+\mathrm {i} )\cdot 114244

und dem Argumentwert; $\arg(1+\mathrm {i} )={\tfrac {\pi }{4}}$ .

Im Laufe der Zeit wurden viele Formeln dieser Art gefunden. Eine Formel mit sehr guter Konvergenz der taylorschen Reihen stammt von Carl Størmer (1896):

{\frac {\pi }{4}}=44\,\arctan {\frac {1}{57}}+7\,\arctan {\frac {1}{239}}-12\,\arctan {\frac {1}{682}}+24\,\arctan {\frac {1}{12943}}

,

welche gleichbedeutend damit ist, dass Real- und Imaginärteil der Gaußschen Zahl

(57+\mathrm {i} )^{44}\cdot (239+\mathrm {i} )^{7}\cdot (682-\mathrm {i} )^{12}\cdot (12943+\mathrm {i} )^{24}=(1+\mathrm {i} )\cdot n

mit

n\in \mathbb {Z}

gleich sind.

Leonhard Euler führte in seiner im Jahre 1748 erschienenen Introductio in analysin infinitorum im ersten Bande $\pi$ bereits auf 148 Stellen genau an. Von Euler entdeckte Formeln (siehe auch Riemannsche ζ-Funktion):

\zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\dotsb ={\frac {\pi ^{2}}{6}}\quad \leftrightarrow \quad \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }n^{(-2)}={\frac {\pi ^{2}}{6}}

\zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90}},\quad \zeta (6)={\frac {\pi ^{6}}{945}},\quad \dotsc

{\frac {\pi ^{2}}{8}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+{\frac {1}{7^{2}}}+{\frac {1}{9^{2}}}+\dotsb

{\frac {\pi -3}{4}}={\frac {1}{2\cdot 3\cdot 4}}-{\frac {1}{4\cdot 5\cdot 6}}+{\frac {1}{6\cdot 7\cdot 8}}\mp \dotsb

Irrationalität

Johann Heinrich Lambert bewies 1761/1768 die Irrationalität der Kreiszahl. Damit stand erstmalig fest, dass eine exakte oder abschließende Berechnung nicht möglich ist.

1770 publizierte Lambert einen Kettenbruch, der heute meist in der Form

{\frac {4}{\pi }}=1+{\frac {1^{2}}{3+\textstyle {\frac {2^{2}}{5+\textstyle {\frac {3^{2}}{7+\textstyle {\frac {4^{2}}{9+\textstyle {\frac {5^{2}}{11+\textstyle {\frac {6^{2}}{\;\,\ddots }}}}}}}}}}}}

geschrieben wird. Bei der Berechnung der Kreiszahl liefert er pro Schritt im Mittel etwa 0,765551 Dezimalstellen, im Vergleich zu anderen Kettenbrüchen relativ viel.

Numerische Verfahren ab dem 20. Jahrhundert

Neue Algorithmen

Im 20. Jahrhundert wurden Iterationsverfahren entwickelt, die eine deutlich effizientere Berechnung „neuer“ Nachkommastellen von $\pi$ gestatten.

1914 fand der indische Mathematiker Srinivasa Ramanujan bei Untersuchungen von elliptischen Funktionen und Modulfunktionen die folgende Formel:

{\frac {1}{\pi }}={\frac {\sqrt {8}}{9801}}\cdot \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!\cdot (1103+26390k)}{(k!)^{4}\cdot 396^{4k}}}

Die ersten Iterationen dieses Verfahrens liefern folgende Ergebnisse:

Iterationen	ergibt Ausdruck ( $\pi \approx ...$ )	entspricht dezimal (erste abweichende Ziffern in rot)
$n=0$	${\sqrt {2}}\cdot {\frac {9801}{4412}}$	$3{,}14159\,2{\color {red}7\ldots }$
$n=0\ldots 1$	${\sqrt {2}}\cdot {\frac {251\;06137\;31736}{113\;01732\;53125}}$	$3{,}14159\,26535\,89793\,{\color {red}8\ldots }$
$n=0\ldots 2$	${\sqrt {2}}\cdot {\frac {22\;86635\;17236\;79402\;41408}{10\;29347\;47739\;07866\;09545}}$	$3{,}14159\,26535\,89793\,23846\,264{\color {red}9\ldots }$
$n=0\ldots 3$	${\sqrt {2}}\cdot {\frac {17\;25276\;53289\;78109\;81556\;47891\;53792}{\ \ 7\;76647\;30622\;54307\;01179\;33472\;01855}}$	$3{,}14159\,26535\,89793\,23846\,26433\,83279\,5{\color {red}5\ldots }$

Es wird also die Quadratwurzel aus 2 mit immer „längeren“ Näherungsbrüchen multipliziert. Pro Iteration liefert dieses Verfahren etwa 8 weitere korrekte Nachkommastellen.

Diese hocheffizienten Verfahren kamen erst ab 2010 zum Einsatz.

${\frac {4}{\pi }}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(21460k+1123)\cdot (4k)!}{882^{2k+1}(4^{k}k!)^{4}}}$

Chudnovsky-Algorithmus

Der 1988 veröffentlichte Chudnovsky-Algorithmus wurde in allen aktuellen Rekordberechnungen eingesetzt. Er wurde aus dem Ramanujan-Ansatz entwickelt, arbeitet jedoch etwa 50 Prozent schneller, und basiert auf der Konvergenz einer verallgemeinerten hypergeometrischen Reihe:

{\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{\sqrt {640320^{3}}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!\cdot (545140134\,k+13591409)}{(3k)!\cdot (k!)^{3}\cdot (-640320)^{3k}}}

Eine technische Implementation beider Iterationsverfahren (Ramanujan und Chudnovsky) bietet die Software y-cruncher.

BBP-Reihen

1995 entdeckte Simon Plouffe zusammen mit Peter Borwein und David Harold Bailey eine neuartige Reihendarstellung für $\pi$ :

\pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\dfrac {1}{16^{k}}}\left({\dfrac {4}{8k\!+\!1}}-{\dfrac {2}{8k\!+\!4}}-{\dfrac {1}{8k\!+\!5}}-{\dfrac {1}{8k\!+\!6}}\right)

Diese Reihe (auch Bailey-Borwein-Plouffe-Formel genannt) ermöglicht es, die $n$ -te Stelle einer binären, hexadezimalen oder beliebigen Darstellung zu einer Zweierpotenz-Basis von $\pi$ zu berechnen, ohne dass zuvor die $n-1$ vorherigen Ziffernstellen berechnet werden müssen.

Später wurden für $\pi$ weitere BBP-Reihen gefunden:

{\begin{aligned}\pi &={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {8}{8k\!+\!2}}+{\frac {4}{8k\!+\!3}}+{\frac {4}{8k\!+\!4}}-{\frac {1}{8k\!+\!7}}\right)\\&={\frac {1}{4}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {8}{8k\!+\!1}}+{\frac {8}{8k\!+\!2}}+{\frac {4}{8k\!+\!3}}-{\frac {2}{8k\!+\!5}}-{\frac {2}{8k\!+\!6}}-{\frac {1}{8k\!+\!7}}\right)\\&=\;\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{4^{k}}}\left({\frac {2}{4k\!+\!1}}+{\frac {2}{4k\!+\!2}}+{\frac {1}{4k\!+\!3}}\right)\end{aligned}}

Tröpfelalgorithmus

Eng verwandt mit den Verfahren zur Ziffernextraktion sind Tröpfelalgorithmen, bei denen die Ziffern eine nach der anderen berechnet werden. Den ersten solchen Algorithmus zur Berechnung von $\pi$ fand Stanley Rabinowitz. Seitdem sind weitere Tröpfelalgorithmen zur Berechnung von $\pi$ gefunden worden.

Methode von Gauß, Brent und Salamin

Die Berechnung der Bogenlänge einer Lemniskate über elliptische Integrale und deren Approximation über das Arithmetisch-geometrische Mittel $M(a,b)$ nach Gauß liefert das schnell konvergierende Verfahren von Salamin und Brent zur numerischen Berechnung. Grundlage hierfür ist die folgende zuerst von Gauß vermutete Darstellung von $\pi$ :

{\frac {1}{\pi }}=\mathrm {M} (1,{\sqrt {2}})\int _{0}^{1}{\frac {2\ \!\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{4}}}}

Letzteres Integral ist auch als lemniskatische Konstante bekannt. Es gilt dann

\pi ={\frac {4\ \!\mathrm {M} {\Big (}1,{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\Big )}^{2}}{1-\sum _{j=1}^{\infty }2^{j+1}c_{j}^{2}}}

,

wobei sich das arithmetisch-geometrische Mittel über die Iteration

a_{n}={\frac {a_{n-1}+b_{n-1}}{2}},\qquad b_{n}={\sqrt {a_{n-1}b_{n-1}}}

mit zwei initialen Argumenten $a_{0},b_{0}>0$ berechnet und $c_{n}^{2}=a_{n}^{2}-b_{n}^{2}$ gesetzt wird.

Startwerte und Rekursionsformel sowie die ersten Folgenglieder (a_n, b_n, t_n nur gerundet angegeben)
$n$	$a_{n}$	$b_{n}$	$p_{n}$	$t_{n}$	$\pi _{n}\;$ (falsche Ziffern in rot)
$\ \ 0$	$1$	${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}$	$\ \ 1$	${\tfrac {1}{4}}$	${\tfrac {3}{2}}+{\sqrt {2}}$
$n\!+\!1$	${\tfrac {1}{2}}(a_{n}+b_{n})$	${\sqrt {a_{n}b_{n}}}$	$2\ \!p_{n}$	$t_{n}-p_{n}(a_{n+1}\!-\!a_{n})^{2}$	${\tfrac {(a_{n}\,+\,b_{n})^{2}}{4t_{n}}}$
$\ \ 0$	$1$	$0{,}7071067811\ldots$	$\ \ 1$	$0{,}25$	${\color {red}2{,}91421\;3562\ldots }$
$\ \ 1$	$0{,}8535533905\ldots$	$0{,}8408964152\ldots$	$\ \ 2$	$0{,}2285533905\ldots$	$3{,}14{\color {red}0\ldots }$
$\ \ 2$	$0{,}8472249029\ldots$	$0{,}8472012667\ldots$	$\ \ 4$	$0{,}2284732910\ldots$	$3{,}14159\;26{\color {red}4\ldots }$
$\ \ 3$	$0{,}8472130848\ldots$	$0{,}8472130847\ldots$	$\ \ 8$	$0{,}2284732910\ldots$	$3{,}14159\;26535\;89793\;238{\color {red}2\ldots }$
$\ \ 4$	$0{,}8472130848\ldots$	$0{,}8472130847\ldots$	$16$	$0{,}2284732910\ldots$	$3{,}14159\;26535\;89793\;23846$ $\;\;\,26433\;83279\;50288\;41971\;{\color {red}1\ldots }$
$\ \ 5$	$0{,}8472130848\ldots$	$0{,}8472130848\ldots$	$32$	$0{,}2284732910\ldots$	$3{,}14159\;26535\;89793\;23846\;26433\;83279\;$ $\;\;\,50288\;41971\;69399\;37510\;58209\;74944$ $\;\;\,59230\;78164\;06286\;20899\;862{\color {red}5\ldots }$

Konvergenzen

Konvergenz der Verfahren
Verfahren	Terme/ 10⁴ Stellen	Stellen/ Term
$6\arctan {\tfrac {1}{\sqrt {3}}}$	$\,\,20959$	$\;\;\,0{,}4771$
$16\arctan {\tfrac {1}{5}}-4\arctan {\tfrac {1}{239}}$	$\;\;\,\,9256$	$\;\;\,1{,}0804$
$176\,\arctan {\tfrac {1}{57}}+28\,\arctan {\tfrac {1}{239}}-48\,\arctan {\tfrac {1}{682}}+96\,\arctan {\tfrac {1}{12943}}$	$\;\;\,\,7930$	$\;\;\,1{,}2610$
$48\arctan {\tfrac {1}{49}}+128\arctan {\tfrac {1}{57}}-20\arctan {\tfrac {1}{239}}+48\arctan {\tfrac {1}{110443}}$	$\;\;\,\,8900$	$\;\;\,1{,}1237$
Srinivasa Ramanujan	$\;\;\,\,1253$	$\;\;\,7{,}9825$
${\frac {4}{\pi }}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(21460k+1123)\cdot (4k)!}{882^{2k+1}(4^{k}k!)^{4}}}$	$\;\;\,\,1698$	$\;\;\,5{,}8909$
Chudnovsky-Algorithmus	$\quad \;705$	$\ 14{,}1816$
Gauß, Brent und Salamin	quadratisch

Nichtnumerische Berechnungsverfahren

Berechnung mittels Flächenformel

Diese Berechnung nutzt den Zusammenhang aus, dass $\pi$ in der Flächenformel des Kreises enthalten ist, dagegen nicht in der Flächenformel des umschreibenden Quadrats.

Die Formel für den Flächeninhalt des Kreises mit Radius $r$ lautet

A_{K}=\pi r^{2}

,

der Flächeninhalt des Quadrates mit Seitenlänge $2r$ errechnet sich als

A_{Q}=(2r)^{2}

.

Für das Verhältnis der Flächeninhalte eines Kreises und seines umschreibenden Quadrats ergibt sich also

{\frac {A_{K}}{A_{Q}}}={\frac {\pi r^{2}}{(2r)^{2}}}={\frac {\pi }{4}}

.

Damit lässt sich $\pi$ als das Vierfache dieses Verhältnisses schreiben:

\pi =4\,{\frac {A_{K}}{A_{Q}}}

.

Programm

Als Beispiel ist ein Algorithmus angegeben, in dem die Flächenformel demonstriert wird, mit der $\pi$ näherungsweise berechnet werden kann.

Man legt dazu über das Quadrat ein Gitter und berechnet für jeden einzelnen Gitterpunkt, ob er auch im Kreis liegt. Das Verhältnis der Gitterpunkte innerhalb des Kreises zu den Gitterpunkten innerhalb des Quadrats wird mit 4 multipliziert. Die Genauigkeit der damit gewonnenen Näherung von $\pi$ hängt von der Gitterweite ab und wird mittels $r$ kontrolliert. Mit $r=10$ erhält man z. B. 3,16 und mit $r=100$ bereits 3,1428. Für das Ergebnis 3,14159 ist allerdings schon $r=10000$ zu setzen, was sich durch den zweidimensionalen Lösungsansatz auf die Zahl der notwendigen Rechenvorgänge in quadratischer Form niederschlägt.

// Ergibt für r = 10: 3.1_6 (genauer Wert 3.1_415926535...) // Ergibt für x = 1000: 3.141_676 (genauer Wert 3.141_5926535...) // Ergibt für x = 100000: 3.1415926_932 (genauer Wert 3.1415926_535...) function approximiere_pi(r)  quadrat := r^2  innerhalb := 0  for x := 0 to r-1 do  for y := 0 to r-1 do  if (x+0.5)^2 + (y+0.5)^2 <= quadrat then  innerhalb++  return 4.0 * innerhalb / quadrat

Alternatives Programm

| | Dieses Programm summiert die Fläche des Kreises aus im Verhältnis zum Radius sehr schmalen Streifen. Es verwendet die Gleichungen
$y=\pm {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$ und $\pi ={\frac {A_{K}}{r^{2}}}$ sowie $\pi =\int _{-1}^{1}2{\sqrt {1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x$ .

// Ergibt für n = 100: 3.14_0417031779046 (genauer Wert 3.14_15926535...) // Ergibt für n = 1000000: 3.14159265_2413558 (genauer Wert 3.14159265_35...) n := 1000000 // halbe Anzahl der Streifen s := 0 // Summe der Flächeninhalte for x := -1 to +1 step 1/n:  // Flächeninhalt des Streifens an der Stelle x hinzuaddieren.  // Die Höhe des Streifens wird exakt in der Mitte des Streifens gemessen.  s += sqrt(1 - x*x) // Die 2 steht für die obere plus die untere Hälfte, die 1/n ist die Breite des Streifens. pi := s * 2 / n

Die x-Koordinaten der untersuchten Fläche gehen von $-1$ bis $+1$ . Da Kreise rund sind und dieser Kreis sein Zentrum auf den Koordinaten $0,0$ hat, liegen die y-Koordinaten ebenfalls im Bereich von $-1$ bis $+1$ . Das Programm teilt die zu untersuchende Fläche in 2 Millionen schmale Streifen auf. Jeder dieser Streifen hat dieselbe Breite, nämlich $1/n$ . Die Oberkante eines jeden Streifens ist jedoch unterschiedlich und ergibt sich aus der obigen Formel zu ${\sqrt {1-x^{2}}}$ , im Code wird das als sqrt(1 - x*x) geschrieben. Die Höhe eines jeden Streifens geht von der Oberkante bis zur Unterkante. Da die beiden Kanten bei Kreisen gleich weit von der Mittellinie entfernt sind, ist die Höhe genau das Doppelte der Kantenlänge, daher die 2 im Code.

Nach dem Durchlaufen der for-Schleife befindet sich in der Variablen s der Flächeninhalt des Kreises mit Radius 1. Um aus dieser Zahl den Wert von Pi zu ermitteln, muss diese Zahl gemäß der Formel $A=\pi \cdot r^{2}$ noch durch $r^{2}$ geteilt werden. In diesem Beispiel ist $r=1$ , daher ist das im Programmcode weggelassen.

Viermal genauer (da die Steifen besser zentriert sind) und doppelt so schnell (nun sind linke und rechte Hälfte auch noch identisch und brauchen nur einmal berechnet zu werden), aber nicht mehr der Grafik „Kreisflächen-Integration“ entsprechend, rechnet:

// Ergibt für n = 100: 3.141_9368579 (genauer Wert 3.141_5926535...) // Ergibt für n = 1000000: 3.141592653_934 (genauer Wert 3.141592653_589...) n := 1000000 // halbe Anzahl der Streifen s := 0 // Summe der Flächeninhalte for x := 0.5/n to +1 step 1/n:  // Flächeninhalt des Streifens an der Stelle x hinzuaddieren.  // Die Höhe des Streifens wird exakt in der Mitte des Streifens gemessen.  s += sqrt(1 - x*x) // Die 4 steht für die anderen drei Quadranten, die 1/n ist die Breite des Streifens. pi := s * 4 / n

Statistische Bestimmung

Berechnung mit einem Monte-Carlo-Algorithmus

Eine Methode zur Bestimmung von $\pi$ ist die statistische Methode. Für die Berechnung lässt man zufällige Punkte auf ein Quadrat „regnen“ und berechnet, ob sie innerhalb oder außerhalb eines einbeschriebenen Kreises liegen. Der Anteil der innen liegenden Punkte ist approximiert ${\tfrac {\pi }{4}}$ .

Diese Methode ist ein Monte-Carlo-Algorithmus; die Genauigkeit der nach einer festen Schrittzahl erreichten Näherung von $\pi$ lässt sich daher nur mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit angeben. Durch das Gesetz der großen Zahlen steigt jedoch im Mittel die Genauigkeit mit der Schrittzahl.

Der Algorithmus für diese Bestimmung ist:

// Ergibt für tropfenzahl = 100: 3._32 (genauer Wert 3._1415926535...) // Ergibt für tropfenzahl = 1000000: 3.141_104 (genauer Wert 3.141_5926535...) // Ergibt für tropfenzahl = 10000000000: 3.1415_884288 (genauer Wert 3.1415_926535...) function approximiere_pi(tropfenzahl)  innerhalb := 0 // zählt die Tropfen innerhalb des Kreises  for i := 1 to tropfenzahl do // so oft wiederholen, wie es Tropfen gibt  x := random(0.0 ..< 1.0) // zufälligen Tropfen im Quadrat [0,0] bis (1,1) erzeugen  y := random(0.0 ..< 1.0)  if x^2 + y^2 <= 1.0 then // wenn der Tropfen innerhalb des Kreises liegt …  innerhalb++ // Zähler erhöhen  return 4.0 * innerhalb / tropfenzahl

Die 4.0 im Code ergibt sich daraus, dass in der Tröpfchensimulation nur die Anzahl für einen Viertelkreis berechnet wurde. Um daraus die (hochgerechnete) Anzahl für einen ganzen Kreis zu bekommen, muss die berechnete Anzahl noch mit 4 multipliziert werden. Da die Zahl Pi das Verhältnis zwischen der Kreisfläche und dem Quadrat des Radius ist, muss die so erhaltene Zahl noch durch das Quadrat des Radius geteilt werden. Der Radius ist in diesem Fall 1, daher kann das Teilen weggelassen werden.

Buffonsches Nadelproblem

Eine weitere auf Wahrscheinlichkeiten beruhende und ungewöhnliche Methode ist das Buffonsche Nadelproblem, von Georges-Louis Leclerc de Buffon (1733 vorgetragen, 1777 veröffentlicht). Buffon warf Stöcke über die Schulter auf einen gekachelten Fußboden. Anschließend zählte er, wie oft sie die Fugen trafen. Eine praktikablere Variante beschrieb Jakow Perelman im Buch Unterhaltsame Geometrie. Man nehme eine ca. 2 cm lange Nadel – oder einen anderen Metallstift mit ähnlicher Länge und Durchmesser, am besten ohne Spitze – und zeichne auf ein Blatt Papier eine Reihe dünner paralleler Striche, die um die doppelte Länge der Nadel voneinander entfernt sind. Dann lässt man die Nadel sehr häufig (mehrere hundert- oder tausendmal) aus einer beliebigen, aber konstanten Höhe auf das Blatt fallen und notiert, ob die Nadel eine Linie schneidet oder nicht. Es kommt nicht darauf an, wie man das Berühren eines Striches durch ein Nadelende zählt. Die Division der Gesamtzahl $N$ der Nadelwürfe durch die Zahl $P$ der Fälle, in denen die Nadel eine Linie geschnitten hat, nähert sich (stochastisch) mit zunehmender Zahl der Würfe an die Formel

{\frac {N}{P}}={\frac {\pi }{2}}{\frac {d}{\ell }}

an, wobei $\ell$ die Länge der Nadeln und $d$ den Abstand der Linien auf dem Papier bezeichnet. Daraus ergibt sich leicht eine Näherung für $\pi$ . Die Nadel kann dabei auch gebogen oder mehrfach geknickt sein, wobei in diesem Fall auch mehr als ein Schnittpunkt pro Wurf möglich ist und entsprechend mehrfach gezählt werden muss. In der Mitte des 19. Jahrhunderts kam der Schweizer Astronom Rudolf Wolf durch 5000 Nadelwürfe auf einen Wert von $\pi =3{,}1596\pm 0{,}0518$ . Das Verfahren hat als analoges Verfahren (schneidet die Nadel die Linie?) ein Genauigkeitsproblem durch Ablesefehler.

Rekorde der Berechnung von π

durchgeführt von	Jahr	Dezimalstellen	Methode / Hilfsmittel	Rechenzeit
Linus Media Group / KIOXIA	2025	300.000.000.000.000	Berechnung: Y-cruncher Software (Chudnovsky-Formel) Verifikation: Plouffes und Bellards Formel	226 d
Jordan Ranous / StorageReview	2024	202.112.290.000.000		104 d
Jordan Ranous / StorageReview	2024	105.000.000.000.000		075 d
Google LLC	2022	100.000.000.000.000		157 d
FH Graubünden	2021	62.831.853.071.796		108 d
Timothy Mullican	2020	50.000.000.000.000		303 d
Emma Haruka Iwao / Google LLC	2019	31.415.926.535.897		121 d
Peter Trüb / DECTRIS	2016	22.459.157.718.361		105 d
Sandon Van Ness (Houkouonchi)	2014	13.300.000.000.000		208 d
Shigeru Kondo, Alexander Yee	2013	12.100.000.000.050		082 d

frühere Berechnungen

durchgeführt von

Jahr

Dezimalstellen

Methode / Hilfsmittel

Rechenzeit

Shigeru Kondo, Alexander Yee

2011

10.000.000.000.050

Berechnung:
Y-cruncher Software
(Chudnovsky-Formel)

Verifikation:
Plouffes und Bellards Formel

191 d

Shigeru Kondo, Alexander Yee

2010

5.000.000.000.000

090 d

Fabrice Bellard

2010

2.699.999.990.000

Berechnung: TachusPi Software (Chudnovsky-Formel),
Verifikation: Bellards Formel

131 d

Daisuke Takahashi

2009

2.576.980.370.000

Berechnung: Gauß-Legendre-Algorithmus

Yasumasa Kanada

2002

1.241.100.000.000

Berechnung:	${\begin{aligned}\pi &=\ \ 48\arctan {\tfrac {1}{49}}\\&+128\arctan {\tfrac {1}{57}}\\&\ \ -20\arctan {\tfrac {1}{239}}\\&\ \ +48\arctan {\tfrac {1}{110443}}\end{aligned}}$
Verifikation:	${\begin{aligned}\pi &=176\arctan {\tfrac {1}{57}}\\&\ \ +28\arctan {\tfrac {1}{239}}\\&\ \ -48\arctan {\tfrac {1}{682}}\\&\ \ +96\arctan {\tfrac {1}{12943}}\end{aligned}}$

025 d

Yasumasa Kanada, Daisuke Takahashi

1999

206.158.430.000

Gauss–Legendre/Gauss–Euler/
Brent–Salamin-Algorithmus

1997

51.539.600.000

David und Gregory Chudnovsky

1989

1.011.196.691

Yasumasa Kanada, Yoshiaki Tamura,
Yoshinobu Kubo

1987

134.217.700

Yasumasa Kanada, Sayaka Yoshino,
Yoshiaki Tamura

1982

16.777.206

HITAC M-280H

< 30 h00<

Yoshiaki Tamura, Yasumasa Kanada

1982

8.388.576

HITAC M-280H

006:52 h

1982

4.194.288

HITAC M-280H

002:21 h

Yoshiaki Tamura

1982

2.097.144

MELCOM 900II

007:14 h

Jean Guilloud

1981

2.000.050

Kazunori Miyoshi, Yasumasa Kanada

1981

2.000.036

FACOM M-200

137:18 h

Jean Guilloud, Martin Boyer

1973

1.001.250

CDC 7600

023:18 h

Jean Guilloud, M. Dichampt

1967

500.000

CDC 6600

028:10 h

Jean Guilloud, J. Filliatre

1966

250.000

IBM 7030

041:55 h

Daniel Shanks, John W. Wrench

1961

100.265

Transistoren-Computer IBM 7090

008:43 h

Jean Guilloud

1959

16.167

IBM 704

004:18 h

George E. Felton

1958

10.021

Pegasus

033 h:00

F. Genuys

1958

10.000

Magnetkernspeicher-Rechner IBM 704,
per Machin-Formel

010 h:00

George E. Felton

1957

7.480

Pegasus

033 h:00

S.C. Nicholson, J. Jeenel

1954

3.093

Naval Ordnance Research Calculator

000:13 h

G. Reitwiesner

1949

2.037

Röhren-Rechner ENIAC

070 h:00

Levi B. Smith, John W. Wrench

1949

1.120

mechanische Rechenmaschine

William Shanks

1853

(527)

Reihenentwicklung:

\pi =16\arctan {\tfrac {1}{5}}-4\arctan {\tfrac {1}{239}}

.
Berechnung der ersten 707 Dezimalstellen von

\pi

von Hand.
Im Jahr 1945 stellte John W. Wrench fest, dass die letzten 180 Stellen falsch waren.

Jurij Vega

1794

126

John Machin

1706

100

Reihenentwicklung:

\pi =16\arctan {\tfrac {1}{5}}-4\arctan {\tfrac {1}{239}}

William Jones

1706

100

Reihenentwicklung:

$\pi =6\,\arctan {\tfrac {1}{\sqrt {3}}}$
${\begin{aligned}\,\,\;=2\,{\sqrt {3}}\;{\Bigl (}1&-{\tfrac {1}{3}}{\tfrac {3}{9}}+{\tfrac {1}{5}}{\tfrac {1}{9}}\\&-{\tfrac {1}{7}}{\tfrac {3}{9^{2}}}+{\tfrac {1}{9}}{\tfrac {1}{9^{2}}}\\&-{\tfrac {1}{11}}{\tfrac {3}{9^{3}}}+{\tfrac {1}{13}}{\tfrac {1}{9^{3}}}\mp \ldots {\Bigr )}\end{aligned}}$

Ludolph van Ceulen

1610

35

2⁶²-Eck

1596

20

Dschamschid Masʿud al-Kaschi

ca. 1424

15

3 · 2²⁸-Eck

Zu Chongzhi

ca. 0480

6

3 · 2¹²-Eck

Liu Hui

nach 263

5

3072-Eck

Archimedes

ca. 0250
v. Chr.

2

96-Eck

Geometrische Konstruktionen

Aufgrund der Transzendenz von $\pi$ ist es nicht möglich, durch eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal eine Strecke mit der exakten Länge von $\pi$ Längeneinheiten zu erstellen. Es existieren jedoch sowohl eine Reihe von Zirkel-und-Lineal-Konstruktionen, die sehr gute Näherungen liefern, als auch Konstruktionen, die dank eines weiteren Hilfsmittels – zusätzlich zu Zirkel und Lineal – eine exakte Konstruktion ermöglichen. Als ein solches weiteres Hilfsmittel kommen dabei insbesondere als Quadratrizes bezeichnete Kurven zum Einsatz, die z. B. mit Hilfe einer sogenannten Dynamische-Geometrie-Software (DGS) erzeugt und als Ausdruck u. a. auf Papier Verwendung finden. Zudem gibt es einige spezielle mechanische Zeichengeräte und eventuell eigens angefertigte Kurvenlineale, mit denen sich solche Kurven zeichnen lassen.

Ohne direkten praktischen Nutzen, doch geometrisch anschaulich, lässt sich $\pi$ als Flächeninhalt eines angepassten Sierpinski-Teppiches konstruieren.

Näherungskonstruktionen

Zur geometrischen Konstruktion der Zahl $\pi$ gibt es die Näherungskonstruktion von Kochański aus dem Jahr 1685, mit der man einen Näherungswert der Kreiszahl mit einem Fehler von weniger als 0,002 Prozent bestimmen kann. Dabei handelt es sich um eine Näherung des halben Kreisumfangs, mit dessen Hilfe die – exakt nicht mögliche – Quadratur des Kreises dargestellt werden kann.

143 Jahre später, nämlich 1828, veröffentlichte C. G. Specht seine Zweite Annäherungs-Construction des Kreis-Umfanges im Journal für die reine und angewandte Mathematik. Für die Annäherung fand er den Wert

5\cdot {\sqrt {\frac {439}{278}}}=6{,}28318528\ldots

Halbiert man diesen Wert, ergibt sich eine Dezimalzahl, bei der sieben Nachkommastellen mit denen der Kreiszahl $\pi$ übereinstimmen:

3{,}14159\,26{\color {red}401\ldots }\;\approx \pi

Bei einem Kreis mit Radius $r=1$ ist dieser Wert auch gleich dem Flächeninhalt des Dreiecks $AEM$ , mit anderen Worten, der Flächeninhalt des Dreiecks ist nahezu gleich dem des Kreises.

Beachtenswert ist, erst im Jahr 1914, d. h. 86 Jahre später, verbesserte Srinivasa Ramanujan – in seiner zweiten Quadratur des Kreises – die Genauigkeit des nahezu flächengleichen Quadrats um eine auf acht gemeinsame Nachkommastellen mit der Kreiszahl $\pi$ .

Eine zeichnerische Darstellung wird in dem oben angeführten Journal nicht erfasst; hierzu die Anmerkung des Herausgebers:

„Es wird dem Leser leicht sein, die Figur nach der Beschreibung zu entwerfen.“

– A. L. Crelle (HRSG.): 40. Zweite Annäherungs-Construction des Kreis-Umfanges (Von Herrn C. G. Specht zu Berlin)

Die nachfolgende Beschreibung der nebenstehenden Konstruktion ist eine Anlehnung an das Original der Konstruktionsbeschreibung.

Zeichne zuerst den Einheitskreis um den Punkt $A$ und dann ab $A$ eine gerade Linie; dabei ergibt sich $a$ . Anschließend wird in $A$ eine Senkrechte zur Geraden errichtet; sie erzeugt $M$ . Es folgen auf der Geraden ab $a$ hintereinander vier Halbkreise mit dem Radius ${\overline {Aa}}$ jeweils um den sich neu ergebenden Schnittpunkt, dabei entstehen die Punkte $m,p,q$ und $B$ . Nach der Dreiteilung der Strecken ${\overline {mp}}$ in $n$ und $o$ sowie ${\overline {qB}}$ in $r$ und $s$ , wird nun der Punkt $M$ mit $m$ verbunden. Die dabei entstandene Strecke ${\overline {Mm}}$ auf die Senkrechte ab $A$ abgetragen ergibt $R$ . Verbinde auch den Punkt $R$ mit $r$ und übertrage die neue Strecke ${\overline {Rr}}$ ab $A$ auf die Senkrechte; es ergibt sich $C$ . Es geht weiter mit den Verbindungen der Punkte $C$ mit $o$ sowie $C$ mit $B$ . Beim Übertragen der Strecke ${\overline {AB}}$ auf die Strecke ${\overline {Co}}$ ab $C$ ergibt sich $c$ . Abschließend zeichne ab $c$ eine Parallele zur Strecke ${\overline {AB}}$ , die ${\overline {CB}}$ in $d$ schneidet. Die somit entstandene Strecke ${\overline {Cd}}$ entspricht annähernd dem Wert $2\pi$ .

Die Annäherung an die Kreiszahl $\pi ={\tfrac {U}{d}}$ kann z. B. auf folgende Art und Weise verdeutlicht werden:

Wäre der Durchmesser $d$ eines Kreises $200\;\mathrm {km}$ , würde sein angenäherter Umfang $U=d\pi$ nur um ca. $2{,}7\;\mathrm {mm}$ kürzer als sein theoretischer Wert sein.

Mithilfe der Quadratrix des Hippias

Die nebenstehende Darstellung zeigt die Kreiszahl $\pi$ als Strecke, erstellt mit Hilfe der Quadratrix des Hippias.

Es beginnt mit einer Geraden ab dem Punkt $A$ und einer Senkrechten auf diese Gerade durch $A$ . Anschließend wird der Halbkreis mit dem Radius ${\overline {AB}}=1$ um $A$ gezogen; dabei ergeben sich die Schnittpunkte $B,D$ und $E$ . Nun konstruiert man das Quadrat $ABCD$ mit der Seitenlänge $a=1$ . Es folgt die Festlegung der Quadratrix, ohne „Lücke“ auf der $x$ -Achse. Hierfür wird der Bezug der Kurve nicht auf die $x$ -Achse, sondern auf die $y$ -Achse gewählt. Die Quadratrix (rot) verläuft somit durch $D$ und $E$ . Für diese Lage der Quadratrix ( $a=1$ ) gilt die kartesische Gleichung:

x=y\cdot \cot \left({\frac {\pi }{2a}}\cdot y\right)

Die Quadratrix schneidet nach dem Satz des Dinostratos die Seite ${\overline {AB}}$ ihres zugehörigen Quadrates im Punkt $F$ und generiert damit auf der Geraden, nun als Zahlengerade genutzt, den Wert ${\tfrac {2}{\pi }}$ . Das Errichten der Senkrechten auf die Strecke ${\overline {AB}}$ ab ${\tfrac {2}{\pi }}$ bis zum Halbkreis ergibt den Schnittpunkt $G$ . Nach der Verlängerung der Strecke ${\overline {BC}}$ über $C$ hinaus und dem Zeichnen einer geraden Linie ab $A$ durch $G$ bis zur Verlängerung ergibt sich der Schnittpunkt $H$ . Eine Möglichkeit u. a. ist nun, die Länge der Strecke ${\overline {AH}}$ mit Hilfe des Strahlensatzes zu bestimmen. In der Zeichnung ist ersichtlich, dass ${\tfrac {2}{\pi }}$ der Strecke ${\overline {AF}}$ entspricht. Infolgedessen sind nach dem ersten Strahlensatz die Verhältnisse der Abschnitte

|AF|:|AB|=|AG|:|AH|

,

umgeformt und die entsprechenden Werte eingesetzt ergibt sich

|AH|={\frac {\frac {1}{1}}{\frac {2}{\pi }}}\cdot 1={\frac {\pi }{2}}

.

Nun wird der Kreisbogen mit dem Radius ${\overline {AH}}$ um $A$ bis auf die Zahlengerade gezogen; es entsteht der Schnittpunkt ${\tfrac {\pi }{2}}$ . Der abschließende Thaleskreis über ${\tfrac {\pi }{2}}$ ab dem Punkt $A$ ergibt somit exakt die Kreiszahl $\pi$ .

Mithilfe der archimedischen Spirale

Eine sehr einfache Konstruktion der Kreiszahl $\pi$ zeigt das folgende Bild, erzeugt mithilfe der archimedischen Spirale. Wird als Windungsabstand (mit $a=2$ ) $a\cdot {\tfrac {\pi }{2}}$ gewählt, so schneidet der Graph der Spirale die $y$ -Achse in $B$ und liefert somit bereits nach einer Vierteldrehung ${\overline {OB}}=\pi .$ Der auf die $y$ -Achse projizierte Halbkreis mit Radius $r=1$ sowie die Strecke ${\overline {OC}}=\pi$ (grüne Linien) dienen lediglich der Verdeutlichung des Ergebnisses.

Mithilfe der Sinuslinie

Die Konstruktion der Kreiszahl $\pi$ mithilfe des Graphen der Sinusfunktion $f(x)=\mathrm {sin} (x)$ , auch als Sinuslinie bezeichnet, ist eine der einfachsten ihrer Art. Sie durchläuft zuerst den Punkt $O$ und liefert schließlich beim zweiten Überqueren der Zahlengerade (Winkel $\alpha =180^{\circ }$ ) die Kreiszahl $\pi$ als Länge, d. h. den halben Umfang des Einheitskreises.

Experimentelle Konstruktion

Die folgende Methode nutzt die in der Kreisfläche „versteckte“ Kreiszahl $\pi$ , um mit Hilfe experimenteller Physik den Wert von $\pi$ als messbare Größe darzustellen.

Ein Zylinder mit dem Radius $r=1$ und der Gefäßhöhe $h_{GZ}\approx 1{,}5$ wird bis auf die Höhe $h_{Z}=1$ mit Wasser gefüllt. Die so bestimmte Wassermenge wird nun vom Zylinder in einen Quader umgefüllt, der eine quadratische Grundfläche mit Seitenlänge $a=1$ und eine Gefäßhöhe von $h_{GQ}\approx 4$ aufweist.

Wassermenge im Zylinder $V_{Z}$ in Volumeneinheiten [VE]:

V_{Z}=r^{2}\pi h_{Z}=1^{3}\cdot \pi =3{,}141\dotso \,\mathrm {[VE]}

Wasserstand im Quader $h_{\text{Q}}$ in Längeneinheiten [LE]:

V_{Q}=a^{2}h_{Q}=1^{2}h_{Q}=V_{Z}

, daraus

h_{Q}

h_{Q}={\frac {1^{3}\pi }{1^{2}}}=\pi =3{,}141\dotso \,\mathrm {[LE]}

Das Ergebnis zeigt: Eine Wassermenge, die in einem Zylinder mit dem Radius $r=1$ den Wasserstand $1\;\mathrm {[LE]}$ hat, liefert – umgefüllt in den Quader $(a=1)$ – den Wasserstand $\pi \,\mathrm {[LE]}$ .

Formeln und Anwendungen

Formeln, die π enthalten

Formeln der Geometrie

In der Geometrie treten die Eigenschaften von $\pi$ als Kreiszahl unmittelbar hervor.

Umfang eines Kreises mit Radius $r$ : $U=2\pi r$
Fläche eines Kreises mit Radius $r$ : $A=\pi r^{2}$
Volumen einer Kugel mit Radius $r$ : $V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$
Oberfläche einer Kugel mit Radius $r$ : $A_{O}=4\pi r^{2}$
n-dimensionale Volumen einer n-Sphäre mit Radius $r$ : $V_{n}={\frac {\pi ^{\tfrac {n}{2}}}{\Gamma {\big (}{{\tfrac {n}{2}}\!+\!1}{\big )}}}r^{n}$
n−1-dimensionale Hülle einer n-Sphäre mit Radius $r$ : $A_{n}={\frac {2\pi ^{\tfrac {n}{2}}}{\Gamma {\big (}{\tfrac {n}{2}}{\big )}}}r^{n-1}$
Volumen eines Zylinders mit Radius $r$ und Höhe $a$ : $V=r^{2}\pi a$
Volumen eines durch die Rotation des Graphen $y=f(x)$ um die $x$ -Achse definierten Rotationskörpers mit den Grenzen $a$ und $b$ : $V=\pi \int _{a}^{b}\!\!f(x)^{2}\mathrm {d} x$

Formeln der Analysis

Im Bereich der Analysis spielt $\pi$ ebenfalls in vielen Zusammenhängen eine Rolle, zum Beispiel bei

der Integraldarstellung $\pi =\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{1+x^{2}}}=2\cdot \int _{-1}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{1+x^{2}}}$ , die Karl Weierstraß 1841 nutzte, um $\pi$ zu definieren,
der unendlichen Reihe: $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ (Euler, siehe Basler Problem und auch Riemannsche Zetafunktion),
der gaußschen Normalverteilung: $\int _{-\infty }^{\infty }\!\!e^{-x^{2}}\mathrm {d} x={\sqrt {\pi }}$ oder in anderer Darstellung: $\int _{\mathbb {R} ^{2}}\!\!e^{-|x|^{2}}\mathrm {d} x=\pi$ ,
der Stirling-Formel als Näherung der Fakultät für große $n$ : $\;\;n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{\!n}$ ,
der Fourier-Transformation: $F(\omega )={\mathcal {F}}\{f\}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-\mathrm {i} \omega t}\,\mathrm {d} t$ .
den Formeln der Funktionentheorie: Wie für alle Teilgebiete der Analysis ist auch für die Funktionentheorie (und darüber hinaus für die gesamte komplexe Analysis) die Kreiszahl von grundlegender Bedeutung. Als herausragende Beispiele sind hier
- die Euler-Identität $e^{\mathrm {i} \pi }+1=0$ zu nennen sowie
- die Integralformel von Cauchy $f(z)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\mathrm {d} \zeta$ .

Darüber hinaus wird die Bedeutung der Kreiszahl ebenfalls augenfällig in den Formeln zur Partialbruchzerlegung der komplexwertigen trigonometrischen Funktionen, die im Zusammenhang mit dem Satz von Mittag-Leffler stehen. Hier sind vor allem

die Partialbruchzerlegung des Kotangens:

{\begin{aligned}\pi \,\cot \pi z&=\sum _{n={-\infty }}^{+\infty }{\frac {1}{z+n}}\\&={\frac {1}{z}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{z-n}}+{\frac {1}{z+n}}\right)\\&={\frac {1}{z}}+2z\cdot \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}-n^{2}}}\\&=z\cdot \sum _{n={-\infty }}^{+\infty }{\frac {1}{z^{2}-n^{2}}}\quad (z\in {\mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} })\\\end{aligned}}

zu erwähnen sowie die daraus – neben weiteren! – zu gewinnenden

Partialbruchzerlegungen zu Sinus und Kosinus:

{\begin{aligned}{\Big (}{\frac {\pi }{\sin \pi z}}{\Big )}^{2}&=\sum _{n={-\infty }}^{+\infty }{\frac {1}{(z-n)^{2}}}\quad (z\in {\mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} })\\{\Big (}{\frac {\pi }{\cos \pi z}}{\Big )}^{2}&=\sum _{n={-\infty }}^{+\infty }{\frac {1}{{\Big (}z-{\tfrac {2n-1}{2}}{\Big )}^{\!2}}}\quad \left(z\in \mathbb {C} \setminus \left\{{\frac {2n-1}{2}}\colon n\in \mathbb {Z} \right\}\right)\\\end{aligned}}

Die obige Partialbruchreihe zum Sinus liefert dann durch Einsetzen von $z={\frac {1}{2}}$ die bekannte Reihendarstellung

{\frac {{\pi }^{2}}{8}}=1+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{25}}+{\frac {1}{49}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n-1)^{2}}}

,

die ihrerseits direkt zu der eulerschen Reihendarstellung

{\frac {{\pi }^{2}}{6}}=1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}

führt, siehe Basler Problem.

Neben diesen von den Partialbruchreihen herrührenden π-Formeln kennt die Funktionentheorie noch eine große Anzahl weiterer davon, die statt der Darstellung mit unendlichen Reihen eine Darstellung mittels unendlicher Produkte aufweisen. Viele von ihnen gehen auf das Werk von Leonhard Euler zurück (s. u.).

Formeln der Zahlentheorie

Die relative Häufigkeit, dass zwei zufällig gewählte natürliche Zahlen, die unterhalb einer Schranke $M$ liegen, teilerfremd sind, strebt mit $M\rightarrow \infty$ gegen ${\frac {6}{\pi ^{2}}}$ (Satz von Ernesto Cesàro, 1881).
Nimmt man eine ganze Zahl z, deren Dezimaldarstellung aus $n$ Fünfen besteht, und berechnet das $10^{n+2}$ -Fache des Sinus des z-ten Teils eines Grades, dann strebt das Resultat mit wachsendem $n$ gegen π:

\lim _{n\to \infty }\,10^{n+2}\sin \!{\Big (}{\frac {\;1^{\circ }}{\underbrace {55\dots 5} _{n-{\text{mal}}}}}{\Big )}=\lim _{n\to \infty }\,10^{n+2}\sin \!{\Bigg (}{\frac {{\tfrac {\pi }{180}}\,\mathrm {rad} }{{\big \lfloor }{\tfrac {5}{9}}\cdot 10^{n}{\big \rfloor }}}{\Bigg )}=\pi .

Dabei ist

\lfloor \cdot \rfloor

die Gaußklammer. Dies entspricht letztlich der Konvergenz

\lim _{x\to \infty }x\cdot \sin {\tfrac {\pi }{x}}=\lim _{x\to \infty }x\cdot {\tfrac {\pi }{x}}=\pi

.

Formeln der Physik

In der Physik spielt $\pi$ neben

der Kreisbewegung: $\omega =2\pi f$ (Winkelgeschwindigkeit gleich $2\pi$ mal Umlauffrequenz)

vor allem bei Wellen eine Rolle, da dort $\pi$ über die Sinus- und Kosinusfunktion eingeht; somit also zum Beispiel

in der Quantenmechanik: $\Delta x\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}$ (Heisenbergsche Unschärferelation),

außerdem

in der Berechnung der Knicklast $F_{K}={\frac {\pi ^{2}EI}{s^{2}}}$ ,
bei der Reibung von Partikeln in Flüssigkeiten (Gesetz von Stokes) $F_{R}=6\pi \,\eta \,r\,v$
sowie beim Coulombschen Gesetz der Elektrostatik und Biot-Savart-Gesetz der Magnetostatik.

Produktformeln von Leonhard Euler

Wird die Folge der Primzahlen mit ${\bigl (}p_{k}{\bigr )}_{k\in \mathbb {N} }={\bigl (}2,3,5,\dots {\bigr )}$ bezeichnet, so gilt:

unendliches Produkt				endliche Approximation (3 Faktoren)		Abweichung von ${\tfrac {{\pi }^{2}}{6}}$ , ${\tfrac {{\pi }^{4}}{90}}$ , ${\tfrac {{\pi }^{6}}{945}}$ , ${\tfrac {{\pi }^{8}}{9450}}$
${\frac {{\pi }^{2}}{6}}$	$=\zeta (2)$	$={\frac {{\pi }^{2}}{2\cdot 3}}$	$=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {{p_{k}}^{2}}{{p_{k}}^{2}-1}}$	$\textstyle {}_{\approx }^{>}{\frac {2^{2}}{2^{2}-1}}\cdot {\frac {3^{2}}{3^{2}-1}}\cdot {\frac {5^{2}}{5^{2}-1}}={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {9}{8}}\cdot {\frac {25}{24}}$	$\textstyle =:a_{2}$	$1-{\tfrac {\sqrt[{2}]{6\cdot a_{2}}}{\pi }}$	$\approx 2{,}54\cdot 10^{-2}$
${\frac {{\pi }^{4}}{90}}$	$=\zeta (4)$	$={\frac {{\pi }^{4}}{2\cdot 3^{2}\cdot 5}}$	$=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {{p_{k}}^{4}}{{p_{k}}^{4}-1}}$	$\textstyle {}_{\approx }^{>}{\frac {2^{4}}{2^{4}-1}}\cdot {\frac {3^{4}}{3^{4}-1}}\cdot {\frac {5^{4}}{5^{4}-1}}={\frac {16}{15}}\cdot {\frac {81}{80}}\cdot {\frac {625}{624}}$	$\textstyle =:a_{4}$	$1-{\tfrac {\sqrt[{4}]{90\cdot a_{4}}}{\pi }}$	$\approx 1{,}37\cdot 10^{-4}$
${\frac {{\pi }^{6}}{945}}$	$=\zeta (6)$	$={\frac {{\pi }^{6}}{3^{3}\cdot 5\cdot 7}}$	$=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {{p_{k}}^{6}}{{p_{k}}^{6}-1}}$	$\textstyle {}_{\approx }^{>}{\frac {2^{6}}{2^{6}-1}}\cdot {\frac {3^{6}}{3^{6}-1}}\cdot {\frac {5^{6}}{5^{6}-1}}={\frac {64}{63}}\cdot {\frac {729}{728}}\cdot {\frac {15625}{15624}}$	$\textstyle =:a_{6}$	$1-{\tfrac {\sqrt[{6}]{945\cdot a_{6}}}{\pi }}$	$\approx 1{,}56\cdot 10^{-6}$
${\frac {{\pi }^{8}}{9450}}$	$=\zeta (8)$	$={\frac {{\pi }^{8}}{2\cdot 3^{3}\cdot 5^{2}\cdot 7}}$	$=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {{p_{k}}^{8}}{{p_{k}}^{8}-1}}$	$\textstyle {}_{\approx }^{>}{\frac {2^{8}}{2^{8}-1}}\cdot {\frac {3^{8}}{3^{8}-1}}\cdot {\frac {5^{8}}{5^{8}-1}}={\frac {256}{255}}\cdot {\frac {6561}{6560}}\cdot {\frac {390625}{390624}}$	$\textstyle =:a_{8}$	$1-{\tfrac {\sqrt[{8}]{9450\cdot a_{8}}}{\pi }}$	$\approx 2{,}25\cdot 10^{-8}$
	$\vdots$				$\vdots$		$\ddots$

Siehe dazu auch die Artikel über die Zeta-Funktion

\zeta

und insbesondere den Abschnitt Funktionswerte für gerade natürliche Zahlen.

Auf Euler gehen auch die folgenden Produktformeln zurück, welche die Kreiszahl mit der komplexen Gammafunktion und dem komplexen Sinus und Kosinus verbinden:

Die erste der drei folgenden Formeln bezeichnet man auch als eulerschen Ergänzungssatz. Bei den beiden anschließenden Produktformeln für Sinus und Kosinus handelt es sich um absolut konvergente Produkte. Beide Produktformeln ergeben sich aus dem Ergänzungssatz, wobei die Produktformel des Kosinus ihrerseits wegen

\cos(z)={\tfrac {\sin(2z)}{2\sin(z)}}

eine direkte Anwendung der Produktformel des Sinus ist.

{\begin{aligned}\Gamma (z)\cdot \Gamma (1-z)&={\frac {\pi }{\sin \pi z}}\quad (z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} )\\\sin \pi z&=\pi z\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{k^{2}}}\right)\quad (z\in \mathbb {C} )\\\cos \pi z&=\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {4z^{2}}{(2k-1)^{2}}}\right)\quad (z\in \mathbb {C} )\\\end{aligned}}

Die Produktformel des Sinus führt dann mit

z=\mathrm {i}

zu dieser interessanten Beziehung (Folge A156648 in OEIS):

{\begin{aligned}\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{k^{2}}}\right)&={\frac {e^{\pi }-e^{-\pi }}{2\pi }}&={\frac {\sinh \pi }{\pi }}&\approx 3{,}6760779103749\\\end{aligned}}

Rezeption

Kuriositäten

Der französische Mathematiker Édouard Lucas hatte im 19. Jahrhundert ein Gedicht gefunden, mit dessen Hilfe man sich die ersten 30 Dezimalstellen der Zahl $\pi$ merken kann. Interpretiert man in seinem „Hymnus auf Archimedes“ die Anzahl der Buchstaben in jedem Wort als Ziffer, so erhält man $\pi \approx 3{,}14159\;26535\;89793\;23846\;26433\;83279$ :

Que j'aime à faire apprendre un nombre utile aux sages !
Immortel Archimède, artiste ingénieur !
Qui de ton jugement peut priser la valeur ?
Pour moi ton problème eut de pareils avantages !

Im Jahr 1897 sollte im US-Bundesstaat Indiana mit dem Indiana Pi Bill die Kreiszahl gesetzlich auf einen der von Hobbymathematiker Edwin J. Goodwin gefundenen Werte festgelegt werden, der sich auf übernatürliche Eingebungen berief. Aus seinen Arbeiten lassen sich unterschiedliche Werte für die Kreiszahl ableiten, unter anderem 4 oder ¹⁶⁄₅. Nachdem er eine gebührenfreie Nutzung seiner Entdeckungen anbot, verabschiedete das Repräsentantenhaus diesen Gesetzentwurf einstimmig. Als Clarence A. Waldo, Mathematikprofessor der Purdue University, davon zufällig bei einem Besuch des Parlaments erfuhr und Einspruch erhob, vertagte die zweite Kammer des Parlaments den Entwurf auf unbestimmte Zeit.

Film

In der Science-Fiction-Serie Raumschiff Enterprise bemächtigt sich in Folge 43, Der Wolf im Schafspelz (orig. Titel Wolf in the Fold), ein fremdes Wesen des Bordcomputers. Der 1. Offizier Spock befiehlt darauf dem Computer, die Zahl Pi bis auf die letzte Nachkommastelle zu berechnen. Durch diese Aufgabe wird der Computer so überfordert, dass das Wesen den Computer wieder verlässt.

Darren Aronofsky führte 1998 die Regie in dem Science-Fiction Thriller Pi. Er handelt von dem mathematischen Genie Maximilian Cohen, gespielt von Sean Gullette. Cohen ist überzeugt, dass mithilfe einer allgemein gültigen Weltformel die Zukunft berechenbar ist. Er ist sich sicher, im Steigen und Fallen der Aktienkurse ein immer wiederkehrendes Muster zu erkennen, das sich auch in der unendlich langen Zahl Pi wiederfindet. Aktienkurse wären somit vorhersehbar.

In der Filmkomödie Nachts im Museum 2 (2009) geht es in der fiktiven Handlung u. a. darum, dass aus dem Naturhistorischen Museum in New York die ägyptischen Exponate – menschliche Gestalten – in die Archive des Smithsonian Museums in Washington, D.C. ausgelagert wurden. Aufgrund der Übersiedlung können die Gestalten nur noch durch Eingabe eines Codes in die goldene Tafel des Pharaos Ahkmenrah zum Leben erweckt werden. Der nach Ahkmenrahs Tod geänderte Code wird von kleinen Wackelkopf-Einsteins als Pi erkannt. Einer von ihnen verrät den Code dem irrtümlich zum Leben erweckten Pharao Kahmunrah, dem älteren bösen Bruder Ahkmenrahs. Kahmunrah gibt Pi in die goldene Tafel ein und öffnet so das Tor zur Unterwelt...

Musik

Wie die beiden folgenden Beispiele zeigen, findet Pi auch in der Musik Beachtung.

Die britische Sängerin Kate Bush hat ein Lied der Zahl Pi gewidmet. Es ist das zweite Lied im 2005 erschienenen Doppelalbum Aerial.

Die progressive Deathcore-Band After the Burial hat auf ihrem Debütalbum Forging a Future Self das Lied Pi (The Mercury God of Infinity) veröffentlicht. Es besteht aus einem Akustikgitarrensolo, auf das ein Breakdown folgt, dessen Rhythmus an die ersten 110 Dezimalstellen der Kreiszahl angelehnt ist.

Kultur

Die im November 2006 eröffnete Medieninstallation Pi in der Wiener Opernpassage widmet sich unter anderem der Kreiszahl.

Eine bemerkenswerte künstlerische Darstellung der Zahl Pi ist in Wien zu sehen. Die im November 2006 eröffnete Medieninstallation Pi von Ken Lum erreicht man beispielsweise bei einem Spaziergang ab dem Naschmarkt, weiter in Richtung Karlsplatz und schließlich abwärts in die denkmalgeschützte Fußgängerunterführung unter der Ringstraße, sprich Opernpassage. Zu sehen ist Pi mit 478 Nachkommastellen in der Nähe der U-Bahn-Station-Karlsplatz.

Freunde der Zahl Pi feiern am 14. März (in US-amerikanischer Notation 3/14) den Pi-Tag und am 22. Juli (in US-amerikanischer Notation 7/22) den Pi Approximation Day. Hierzu gibt es eine Resolution (H. Res.224) vom Repräsentantenhaus der USA aus dem Jahr 2009.

Literatur

Im Roman Der Zauberberg von Thomas Mann schildert der Erzähler im Kapitel Der große Stumpfsinn auf mitleidig-belächelnde Weise, wie die Nebenfigur des Staatsanwalts Paravant den „verzweifelten Bruch“ Pi zu enträtseln versucht. Paravant glaubt, dass die „planende Vorsehung“ ihn dazu bestimmt habe, „das transzendente Ziel in den Bereich irdisch genauer Erfüllung zu reißen“. Er bemüht sich, in seiner Umgebung eine „humane Empfindlichkeit zu wecken für die Schande der Verunreinigung des Menschengeistes durch die heillose Irrationalität dieses mystischen Verhältnisses“, und fragt sich, „ob nicht die Menschheit sich die Lösung des Problems seit Archimedes’ Tagen viel zu schwer gemacht habe, und ob diese Lösung nicht in Wahrheit die kindlich einfachste sei.“ In diesem Zusammenhang erwähnt der Erzähler den historischen Zacharias Dase, der Pi bis auf zweihundert Stellen nach dem Komma berechnet hat.

Das Buch Contact von Carl Sagan, veröffentlicht 1981, beschreibt das SETI-Programm zur Suche nach außerirdischer Intelligenz und damit verbundene philosophische Betrachtungen. Es endet mit der fiktiven Beantwortung der Frage, ob das Universum zufällig entstanden ist oder planvoll geschaffen wurde. Die Zahl Pi spielt für die im Rahmen der Handlung folgerichtige Antwort die zentrale Rolle.

Pi-Sport

Das Auswendiglernen der Zahl Pi ist die beliebteste Möglichkeit, das Merken langer Zahlen unter Beweis zu stellen. Für das Memorieren werden spezielle Mnemotechniken angewandt. Die Technik unterscheidet sich dabei nach den Vorlieben und Begabungen des Gedächtniskünstlers sowie der Menge der zu memorierenden Nachkommastellen. Für das Merken der ersten Ziffern von Pi gibt es Merkregeln. Daraus ist ein regelrechter Sport geworden, wie z. B. Pi mit tausenden von Ziffern in einem Team vorzulesen oder sie als Einzelperson aufzuzählen.

Der aktuelle Rekord im Pi-Vorlesen liegt bei 108.000 Nachkommastellen in 30 Stunden. Der Weltrekordversuch begann am 3. Juni 2005 um 18:00 Uhr und wurde am 5. Juni 2005 um 0:00 Uhr erfolgreich beendet. Über 360 Leser lasen jeweils 300 Nachkommastellen. Organisiert wurde der Weltrekord vom Mathematikum in Gießen.

Im Pi-Aufzählen lag der inoffizielle Weltrekord im Oktober 2006 bei 100.000 Stellen, aufgestellt von Akira Haraguchi. Der Japaner brach damit seinen ebenfalls noch inoffiziellen alten Rekord von 83.431 Nachkommastellen. Der Inder Suresh Kumar Sharma ist offizieller Weltrekordhalter mit bestätigten 70.030 Nachkommastellen, die er am 21. Oktober 2015 fehlerfrei in einer Zeit von 17 Stunden 14 min aufsagte. Den deutschen Rekord hält seit dem 15. März 2024 die Frankfurter Gedächtniskünstlerin Susanne Hippauf mit 18.026 fehlerfrei aufgezählten Nachkommastellen. Sie brauchte dafür 3 Stunden und 5 Minuten.

Alternative Kreiszahl τ

Der amerikanische Mathematiker Robert Palais schlug 2001 in einer Ausgabe des Mathematik-Magazins The Mathematical Intelligencer vor, für $\pi$ , statt wie bisher den Quotienten aus Umfang und Durchmesser eines Kreises, in Zukunft den Quotienten aus Umfang und Radius (entsprechend $2\pi$ ) als grundlegende Konstante zu verwenden. Seine Argumentation beruht darauf, dass in vielen mathematischen Formeln der Faktor $2$ vor der Kreiszahl auftauche. Als weiteres Argument führt er an, dass die neue Konstante im Bogenmaß einen Vollwinkel darstelle, statt wie $\pi$ einen halben Winkel, und so weniger willkürlich wirke. Die neu normierte Kreiszahl, für deren Notation Michael Hartl und Peter Harremoës den griechischen Buchstaben $\tau$ (Tau) vorschlugen, würde diese Formeln verkürzen. Nach dieser Konvention gilt dann:

{\begin{aligned}\tau =2\pi &=6{,}2831853\ldots \\\pi =\,{\tfrac {\tau }{2}}\,&=3{,}1415926\ldots \end{aligned}}

(Folge A019692 in OEIS)

Anmerkungen

Dieses Verhältnis ist für alle Kreise gleich, unabhängig von deren Größe.
Daher ist es nicht möglich, $\pi$ durch die Angabe eines einfachen Musters der Nachkommastellen geschlossen anzugeben. Es ist lediglich eine zunehmend bessere Annäherung durch Berechnung weiterer Nachkommastellen möglich. Seit dem 14. März 2024 sind 105 Billionen Nachkommastellen der Kreiszahl bekannt.
Einen einfachen Irrationalitätsbeweis lieferte im Jahre 1947 der Zahlentheoretiker Ivan Niven. (Ivan Niven: A simple proof that π is irrational. In: Bulletin of the American Mathematical Society. Band 53, 1947, S. 509 (MR0021013). )
Hier sind alle Teilzähler gleich 1.
Hier sind alle Teilzähler gleich −1.
Für weitere Details siehe die Webseite von Bailey (Memento vom 24. April 2006 im Internet Archive).
Eine Schreibung, die daran erinnert, dass der Arkustangens letztlich ein komplexer Logarithmus ist.
Es gibt unendlich viele davon. Sie werden Formeln vom Machin′schen Typ (en:Machin-like formula und fr:Formule de Machin) genannt und beruhen auf dem Additionstheorem des Arkustangens $\arctan {\tfrac {a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}}{b_{1}b_{2}-a_{1}a_{2}}}=\arctan {\tfrac {a_{1}}{b_{1}}}+\arctan {\tfrac {a_{2}}{b_{2}}}$ , bei dem ein Winkel mit rationalem Tangenswert ${\tfrac {a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}}{b_{1}b_{2}-a_{1}a_{2}}}$ in viele Winkel mit rationalem Tangenswert ${\tfrac {a_{i}}{b_{i}}}$ aufgespalten wird – mit dem Ziel, möglichst kleine Winkel mit möglichst großen (ganzzahligen) Vielfachheiten zu kombinieren.
Zwei Gruppen sind besonders intensiv untersucht worden: die eine mit allen Zählern $a_{i}=1$ und durchaus mehr als zwei Termen Arkustangens, die andere mit genau zwei Termen und zugelassenen $a_{i}>1$ wie z. B. ${\tfrac {\pi }{4}}=5\arctan {\tfrac {1}{7}}+2\arctan {\tfrac {3}{79}}.$
Dabei ist $n=2{,}84438\dotso \cdot 10^{226}$ .
Die Euler-Identität wird als Kombination der Kreiszahl $\pi$ , der ebenfalls transzendenten eulerschen Zahl $e$ , der imaginären Einheit $\mathrm {i}$ und der beiden algebraischen Basisgrößen $0$ und $1$ als eine der „schönsten mathematischen Formeln“ angesehen.
Das Lied auf YouTube mit Erklärung des Rhythmus in der Videobeschreibung, verfasst von einem der Gitarristen. Video auf YouTube.
S. „Palais, Bob“ in der Datenbank zbMATH Open !
S. „Harremoës, Peter“ in der Datenbank zbMATH Open !

Literatur

Jörg Arndt, Christoph Haenel: Π [Pi]. Algorithmen, Computer, Arithmetik. 2., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer Verlag, Berlin 2000, ISBN 3-540-66258-8 (mit CD-ROM, 1. Auflage. 1998 – ohne CD-ROM, ISBN 3-540-63419-3).
Heinrich Behnke, Friedrich Sommer: Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen (= Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 77). Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1965.
Petr Beckmann: A History of π. St. Martin’s Press, New York City 1976, ISBN 0-312-38185-9 (englisch).
Ehrhard Behrends (Hrsg.): Π [Pi] und Co. Kaleidoskop der Mathematik. Springer, Berlin / Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-77888-2.
David Blatner: Π [Pi]. Magie einer Zahl. In: rororo Sachbuch (= rororo. Nr. 61176). Rowohlt, Reinbek bei Hamburg 2001, ISBN 3-499-61176-7 (Originaltitel: The Joy of Π [pi]. Übersetzt von Hainer Kober).
Jonathan Borwein, Peter Borwein: Pi and the AGM. A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. In: Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advan. 2. Auflage. Wiley, New York NY 1998, ISBN 0-471-31515-X (englisch).
Egmont Colerus: Vom Einmaleins zum Integral. Mathematik für Jedermann (= rororo-Sachbuch. Nr. 6692). Rowohlt, Reinbek bei Hamburg 1974, ISBN 3-499-16692-5.
Jean-Paul Delahaye: Π [Pi]. Die Story. Birkhäuser, Basel 1999, ISBN 3-7643-6056-9.
Keith Devlin: Sternstunden der modernen Mathematik. berühmte Probleme und neue Lösungen (= dtv-Taschenbuch 4591). 2. Auflage. Deutscher Taschenbuch Verlag, München 1992, ISBN 3-423-04591-4 (Originaltitel: Mathematics. Übersetzt von Doris Gerstner, Lizenz des Birkhäuser-Verlags, Basel).
Leonhard Euler: Einleitung in die Analysis des Unendlichen. Springer Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1983, ISBN 3-540-12218-4 (Erster Teil der Introductio in Analysin Infinitorum – Reprint der Ausgabe Berlin 1885).
Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1 (= Springer-Lehrbuch). 3., neu bearbeitet und erweiterte Auflage. Springer Verlag, Berlin (u. a.) 2000, ISBN 3-540-67641-4.
Klaus Jänich: Einführung in die Funktionentheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin (u. a.) 1980, ISBN 3-540-10032-6.
Paul Karlson: Vom Zauber der Zahlen. Eine unterhaltsame Mathematik für jedermann. In: Das moderne Sachbuch. 8., überarbeitete Auflage. Band 41. Ullstein, Berlin 1965 (ohne ISBN, früherer Titel: Du und der Zauber der Zahlen).
Max Koecher: Klassische elementare Analysis. Birkhäuser Verlag, Basel, Boston 1987, ISBN 3-7643-1824-4.
Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen (= Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Band 2). 5., berichtigte Auflage. Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1964, ISBN 3-540-03138-3.
Konrad Knopp: Funktionentheorie II. Anwendungen und Weiterführung der allgemeinen Theorie (= Sammlung Göschen. Band 703). 11. Auflage. de Gruyter, Berlin 1965.
Karel Markowski: Die Berechnung der Zahl Π [(Pi)] aus Sinus- und Tangens-Intervallen. 1. Auflage. Trigon, Potsdam 2007, ISBN 978-3-9810752-1-2.
Herbert Meschkowski: Unendliche Reihen. 2., verbesserte und erweiterte Auflage. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim (u. a.) 1982, ISBN 3-411-01613-2.
Jakow Perelman: Unterhaltsame Geometrie. Volk und Wissen, Berlin 1962.
Jürgen Petigk: Dreieckige Kreise oder wie man Π [Pi] mit einer Nadel bestimmen kann. Mathematische Rätsel, Training fürs Gehirn. Komet, Köln 2007, ISBN 978-3-89836-694-6 (1998 als Mathematik in der Freizeit bei Aulis-Verlag Deubner, Köln erschienen, ISBN 3-7614-1997-X).
Karl Helmut Schmidt: Π [Pi]. Geschichte und Algorithmen einer Zahl. Books on Demand GmbH, Norderstedt, ISBN 3-8311-0809-9 ([2001]).
Karl Strubecker: Einführung in die höhere Mathematik. Band 1: Grundlagen. R. Oldenbourg Verlag, München 1956.
Heinrich Tietze: Mathematische Probleme. Gelöste und ungelöste mathematische Probleme aus alter und neuer Zeit. Vierzehn Vorlesungen für Laien und Freunde der Mathematik. C. H. Beck, München 1990, ISBN 3-406-02535-8 (Sonderausgabe in einem Band, 1990 auch als dtv-Taschenbuch 4398 / 4399, ISBN 3-423-04398-9 – Band 1 und ISBN 3-423-04399-7 – Band 1).
Fridtjof Toenniessen: Das Geheimnis der transzendenten Zahlen. Eine etwas andere Einführung in die Mathematik. 2. Auflage. Springer Verlag, Berlin 2019, ISBN 978-3-662-58325-8, doi:10.1007/978-3-662-58326-5.
Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. MAA 2010, ISBN 978-0-88385-348-1, S. 145–146 (Auszug (Google))

Anmerkungen

Übersetzung (die natürlich den Sinn des Gedichtes konterkariert):

Wie gerne bringe ich den Weisen eine nützliche Zahl bei!
Unsterblicher Archimedes, Künstleringenieur!
Wer von deinem Urteilsvermögen kann den Wert einschätzen?
Für mich hatte dein Problem ähnliche Vorteile!

[3] Dieses Verhältnis ist für alle Kreise gleich, unabhängig von deren Größe.

[4] Daher ist es nicht möglich, $\pi$ durch die Angabe eines einfachen Musters der Nachkommastellen geschlossen anzugeben. Es ist lediglich eine zunehmend bessere Annäherung durch Berechnung weiterer Nachkommastellen möglich. Seit dem 14. März 2024 sind 105 Billionen Nachkommastellen der Kreiszahl bekannt.

[18] Einen einfachen Irrationalitätsbeweis lieferte im Jahre 1947 der Zahlentheoretiker Ivan Niven. (Ivan Niven: A simple proof that π is irrational. In: Bulletin of the American Mathematical Society. Band 53, 1947, S. 509 (MR0021013). )

[22] Hier sind alle Teilzähler gleich 1.

[23] Hier sind alle Teilzähler gleich −1.

[30] Für weitere Details siehe die Webseite von Bailey (Memento vom 24. April 2006 im Internet Archive).

[48] Eine Schreibung, die daran erinnert, dass der Arkustangens letztlich ein komplexer Logarithmus ist.

[49] Es gibt unendlich viele davon. Sie werden Formeln vom Machin′schen Typ (en:Machin-like formula und fr:Formule de Machin) genannt und beruhen auf dem Additionstheorem des Arkustangens $\arctan {\tfrac {a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}}{b_{1}b_{2}-a_{1}a_{2}}}=\arctan {\tfrac {a_{1}}{b_{1}}}+\arctan {\tfrac {a_{2}}{b_{2}}}$ , bei dem ein Winkel mit rationalem Tangenswert ${\tfrac {a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}}{b_{1}b_{2}-a_{1}a_{2}}}$ in viele Winkel mit rationalem Tangenswert ${\tfrac {a_{i}}{b_{i}}}$ aufgespalten wird – mit dem Ziel, möglichst kleine Winkel mit möglichst großen (ganzzahligen) Vielfachheiten zu kombinieren.
Zwei Gruppen sind besonders intensiv untersucht worden: die eine mit allen Zählern $a_{i}=1$ und durchaus mehr als zwei Termen Arkustangens, die andere mit genau zwei Termen und zugelassenen $a_{i}>1$ wie z. B. ${\tfrac {\pi }{4}}=5\arctan {\tfrac {1}{7}}+2\arctan {\tfrac {3}{79}}.$

[50] Dabei ist $n=2{,}84438\dotso \cdot 10^{226}$ .

[96] Die Euler-Identität wird als Kombination der Kreiszahl $\pi$ , der ebenfalls transzendenten eulerschen Zahl $e$ , der imaginären Einheit $\mathrm {i}$ und der beiden algebraischen Basisgrößen $0$ und $1$ als eine der „schönsten mathematischen Formeln“ angesehen.

[119] Das Lied auf YouTube mit Erklärung des Rhythmus in der Videobeschreibung, verfasst von einem der Gitarristen. Video auf YouTube.

[126] S. „Palais, Bob“ in der Datenbank zbMATH Open !

[129] S. „Harremoës, Peter“ in der Datenbank zbMATH Open !

[111] Übersetzung (die natürlich den Sinn des Gedichtes konterkariert):

Wie gerne bringe ich den Weisen eine nützliche Zahl bei!
Unsterblicher Archimedes, Künstleringenieur!
Wer von deinem Urteilsvermögen kann den Wert einschätzen?
Für mich hatte dein Problem ähnliche Vorteile!