Definition Die Rademacherverteilung ist definiert auf { − 1 , 1 } {\displaystyle \{-1,1\}}
f ( n ) = { 0 , 5 falls n = − 1 0 , 5 falls n = 1 {\displaystyle f(n)={\begin{cases}0{,}5&{\text{ falls }}n=-1\\0{,}5&{\text{ falls }}n=1\end{cases}}} Die Verteilungsfunktion ist dann
F X ( t ) = { 0 falls t < − 1 0 , 5 falls − 1 ≤ t < 1 1 falls t ≥ 1 {\displaystyle F_{X}(t)={\begin{cases}0&{\text{ falls }}t<-1\\0{,}5&{\text{ falls }}-1\leq t<1\\1&{\text{ falls }}t\geq 1\end{cases}}}
Eigenschaften
Der Erwartungswert einer rademacherverteilten Zufallsvariablen ist
E ( X ) = 0 {\displaystyle \operatorname {E} (X)=0} Der Median ist
m ~ = 0 {\displaystyle {\tilde {m}}=0}
Varianz Die Varianz entspricht der Standardabweichung:
Var ( X ) = σ X = 1 {\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\sigma _{X}=1}
Symmetrie Die Rademacherverteilung ist symmetrisch um die 0.
Schiefe Die Schiefe ist
v ( X ) = 0 {\displaystyle \operatorname {v} (X)=0}
Der Exzess der Rademacherverteilung ist
γ = − 2 {\displaystyle \gamma =-2} Damit ist die Wölbung
β 2 = 1 {\displaystyle \beta _{2}=1}
Die k {\displaystyle k}
m k = { 0 , falls k gerade , 1 , falls k ungerade . {\displaystyle m_{k}={\begin{cases}\displaystyle 0,&{\mbox{ falls }}k{\mbox{ gerade}},\\1,&{\mbox{ falls }}k{\mbox{ ungerade}}.\end{cases}}}
Entropie Die Entropie ist
H ( X ) = log 2 ( 2 ) {\displaystyle \mathrm {H} (X)=\log _{2}(2)} gemessen in Bit .
Kumulanten Die kumulantenerzeugende Funktion ist
g X ( t ) = ln ( cosh ( t ) ) {\displaystyle g_{X}(t)=\ln(\cosh(t))} Damit ist die erste Ableitung
g X ′ ( t ) = tanh ( t ) {\displaystyle g'_{X}(t)=\tanh(t)} und daher τ 1 = 0 {\displaystyle \tau _{1}=0}
Momenterzeugende Funktion Die momenterzeugende Funktion ist
M X ( t ) = cosh ( t ) {\displaystyle M_{X}(t)=\cosh(t)}
Charakteristische Funktion Die charakteristische Funktion ist
φ X ( t ) = cos ( t ) {\displaystyle \varphi _{X}(t)=\cos(t)}
Beziehung zu anderen Verteilungen
Beziehung zur Zweipunktverteilung Die Rademacherverteilung ist eine Zweipunktverteilung mit a = − 1 , b = 1 , p = q = 0 , 5 {\displaystyle a=-1,b=1,p=q=0{,}5}
Beziehung zur diskreten Gleichverteilung Die Rademacherverteilung ist eine diskrete Gleichverteilung auf x 1 = − 1 , x 2 = 1 {\displaystyle x_{1}=-1,x_{2}=1}
Beziehung zur Bernoulliverteilung Sowohl die Bernoulliverteilung mit p = q = 0 , 5 {\displaystyle p=q=0{,}5}
Beziehung zur Binomialverteilung und der stochastischen Irrfahrt Sind X 1 , X 2 , … {\displaystyle X_{1},X_{2},\dots }
Y n := ∑ i = 1 n X i {\displaystyle Y_{n}:=\sum _{i=1}^{n}X_{i}} genau die symmetrische einfache Irrfahrt auf Z {\displaystyle \mathbb {Z} }
0 , 5 ( n + ∑ i = 1 n X i ) ∼ Bin ( n ; 0 , 5 ) {\displaystyle 0{,}5\left(n+\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)\sim \operatorname {Bin} (n;0{,}5)} also binomialverteilt .
Beziehung zur Laplaceverteilung Ist X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} exponentialverteilt zum Parameter λ {\displaystyle \lambda } X ⋅ Y {\displaystyle X\cdot Y} Skalenparameter 1 λ {\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}}
Vorkommen Die Rademacherverteilung wird in der Funktionalanalysis für den Begriff des Typs und Kotyps zur Klassifikation von Banach-Räumen verwendet.
Diskrete univariate Verteilungen
Diskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen: Benford | Bernoulli | beta-binomial | binomial | Dirac | diskret uniform | empirisch | hypergeometrisch | kategorial | negativ hypergeometrisch | Rademacher | verallgemeinert binomial | Zipf | Zipf-Mandelbrot | Zweipunkt
Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Kontinuierliche univariate Verteilungen
Kontinuierliche univariate Verteilungen mit kompaktem Intervall:
Kontinuierliche univariate Verteilungen mit halboffenem Intervall: Bose-Einstein | Burr | Chi | Chi-Quadrat | Coxian | Erlang | Exponential | Extremwert | F | Fermi-Dirac | Folded normal | Fréchet | Gamma | Gamma-Gamma | verallgemeinert invers Gauß | halblogistisch | halbnormal | Hartman-Watson | Hotellings T-Quadrat | hyper-exponentiale | hypoexponential | invers Chi-Quadrat | scale-invers Chi-Quadrat | Invers Normal | Invers Gamma | Kolmogorow-Verteilung | Lévy | log-normal | log-logistisch | Maxwell-Boltzmann | Maxwell-Speed | Nakagami | nichtzentriert Chi-Quadrat | Pareto | Phase-Type | Rayleigh | relativistisch Breit-Wigner | Rice | Rosin-Rammler | shifted Gompertz | truncated normal | Type-2-Gumbel | Weibull | Wilks’ Lambda
Kontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschränktem Intervall: Cauchy | Extremwert | exponential Power | Fishers z | Fisher-Tippett (Gumbel) | generalized hyperbolic | Hyperbolic-secant | Landau | Laplace | alpha-stabil | logistisch | normal (Gauß) | normal-invers Gauß’sch | Skew-normal | Studentsche t | Type-1-Gumbel | Variance-Gamma | Voigt
Multivariate Verteilungen
Diskrete multivariate Verteilungen:
Kontinuierliche multivariate Verteilungen:
Multivariate Matrixverteilungen: