Satz von Wolstenholme

Der Satz von Wolstenholme (nach Joseph Wolstenholme) ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Er lautet:

Ist ${\displaystyle p\geq 5}$ eine Primzahl, so hat die harmonische Zahl

${\displaystyle H(p-1)=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\ldots +{\frac {1}{p-1}}}$

einen durch ${\displaystyle p^{2}}$ teilbaren Zähler (in vollständig gekürzter und daher auch in jeder anderen Darstellung als Quotient zweier ganzer Zahlen).

Beispiele, andere Formulierungen, Folgerungen

Zur Veranschaulichung einige Beispiele:

• ${\displaystyle p=7{\text{:}}\quad 1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}={\tfrac {49}{20}},}$ der Zähler ${\displaystyle 49=1\cdot 7^{2}}$ ist durch ${\displaystyle 7^{2}}$ teilbar.
• ${\displaystyle p=13{\text{:}}\quad 1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{8}}+{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{10}}+{\tfrac {1}{11}}+{\tfrac {1}{12}}={\tfrac {86021}{27720}},}$ der Zähler ${\displaystyle 86021=509\cdot 13^{2}}$ ist durch ${\displaystyle 13^{2}}$ teilbar.

Der Satz von Wolstenholme ist äquivalent zu der Aussage, dass der Zähler von

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\ldots +{\frac {1}{(p-1)^{2}}}}$

durch ${\displaystyle p}$ teilbar ist.

Eine Folgerung aus dem Satz ist die Kongruenz

${\displaystyle {\binom {2p}{p}}\equiv 2\mod {p^{3}},}$

die auch in der Form

${\displaystyle {\binom {2p-1}{p-1}}\equiv 1\mod {p^{3}}}$

geschrieben werden kann.

Wolstenholme-Primzahlen

Eine Wolstenholme-Primzahl p ist eine Primzahl, die eine stärkere Fassung des Satzes von Wolstenholme erfüllt, genauer: die eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

• Der Zähler von

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\dots +{\frac {1}{p-1}}}$

ist durch ${\displaystyle p^{3}}$ teilbar.

• Der Zähler von

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\dots +{\frac {1}{(p-1)^{2}}}}$

ist durch ${\displaystyle p^{2}}$ teilbar.

• Es gilt die Kongruenz

${\displaystyle {\binom {2p}{p}}\equiv 2\mod {p^{4}}.}$

• Es gilt die Kongruenz

${\displaystyle {\binom {2p-1}{p-1}}\equiv 1\mod {p^{4}}.}$

• Der Zähler der Bernoulli-Zahl ${\displaystyle B_{p-3}}$ ist durch ${\displaystyle p}$ teilbar.

Die beiden bisher einzigen bekannten Wolstenholme-Primzahlen sind 16843 (Selfridge und Pollack 1964) und 2124679 (Buhler, Crandall, Ernvall und Metsänkylä 1993). Jede weitere Wolstenholme-Primzahl müsste größer als 10⁹ sein. Es wurde die Vermutung aufgestellt, dass unendlich viele Wolstenholme-Primzahlen existieren, und zwar etwa ${\displaystyle \log(\log(x))}$ unterhalb ${\displaystyle x}$ (McIntosh 1995).

Verwandter Begriff

Betrachtet man nur Summanden mit ungeradem Nenner, also die Summe

${\displaystyle 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\dots +{\frac {1}{p-2}}}$

für eine Primzahl ${\displaystyle p\geq 3}$, so ist der Zähler genau dann durch ${\displaystyle p}$ teilbar, wenn die stärkere Form

${\displaystyle 2^{p-1}\equiv 1\mod {p^{2}}}$

des Satzes von Euler-Fermat gilt. Derartige Primzahlen heißen Wieferich-Primzahlen.

Geschichte

Aus dem Satz von Wilson folgt die Kongruenz

${\displaystyle {\binom {np-1}{p-1}}\equiv 1{\pmod {p}}}$

für jede Primzahl ${\displaystyle p}$ und jede natürliche Zahl ${\displaystyle n.}$

Charles Babbage bewies 1819 die Kongruenz

${\displaystyle {\binom {2p-1}{p-1}}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}}$

für jede Primzahl ${\displaystyle p>2.}$

Joseph Wolstenholme bewies 1862 die Kongruenz

${\displaystyle {\binom {2p-1}{p-1}}\equiv 1{\pmod {p^{3}}}}$

für jede Primzahl ${\displaystyle p>3.}$

Literatur

• G. H. Hardy, E. M. Wright: An introduction to the theory of numbers. 6. Auflage. Oxford University Press, Oxford 2008, ISBN 978-0-19-921985-8 (englisch; revidiert von D. R. Heath-Brown und J. H. Silverman).