Teilerfunktion

Die ersten Werte von σ₀ ... σ₄

n	=	σ0(n)	σ1(n)	σ2(n)	σ3(n)	σ4(n)
1	1	1	1	1	1	1
2	2	2	3	5	9	17
3	3	2	4	10	28	82
4	2^2	3	7	21	73	273
5	5	2	6	26	126	626
6	2‧3	4	12	50	252	1394
7	7	2	8	50	344	2402
8	2^3	4	15	85	585	4369
9	3^2	3	13	91	757	6643
10	2‧5	4	18	130	1134	10642
11	11	2	12	122	1332	14642
12	2^2‧3	6	28	210	2044	22386
13	13	2	14	170	2198	28562
14	2‧7	4	24	250	3096	40834
15	3‧5	4	24	260	3528	51332
16	2^4	5	31	341	4681	69905
17	17	2	18	290	4914	83522
18	2‧3^2	6	39	455	6813	112931
19	19	2	20	362	6860	130322
20	2^2‧5	6	42	546	9198	170898
21	3‧7	4	32	500	9632	196964
22	2‧11	4	36	610	11988	248914
23	23	2	24	530	12168	279842
24	2^3‧3	8	60	850	16380	358258
25	5^2	3	31	651	15751	391251
26	2‧13	4	42	850	19782	485554
27	3^3	4	40	820	20440	538084
28	2^2‧7	6	56	1050	25112	655746
29	29	2	30	842	24390	707282
30	2‧3‧5	8	72	1300	31752	872644

In der Zahlentheorie ist die Teilerfunktion die Funktion, die einer natürlichen Zahl die Summe ihrer Teiler, erhoben zu einer gewissen Potenz, zuordnet. Sie wird üblicherweise mit dem griechischen Buchstaben ${\displaystyle \sigma }$ bezeichnet.

Definition

Für eine natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ ist definiert:

${\displaystyle \!\ \sigma _{k}(n):=\sum _{d|n}d^{k}}$.

Hierbei erstreckt sich die Summe über alle positiven Teiler von ${\displaystyle n}$, einschließlich ${\displaystyle 1}$ und ${\displaystyle n}$. Beispielsweise ist demnach ${\displaystyle \sigma _{2}(6)=1^{2}+2^{2}+3^{2}+6^{2}=50.}$

Spezialisierungen

• ${\displaystyle d:=\sigma _{0}}$ ist die Teileranzahlfunktion,
• ${\displaystyle \sigma :=\sigma _{1}}$ ist die Teilersumme.

Eigenschaften

• ${\displaystyle \sigma _{k}}$ ist multiplikativ, das heißt, für teilerfremde ${\displaystyle n,m}$ gilt: ${\displaystyle \sigma _{k}(n\cdot m)=\sigma _{k}(n)\cdot \sigma _{k}(m)}$.
• Hat ${\displaystyle n}$ die Primfaktorzerlegung ${\displaystyle n=\prod _{i=1}^{r}{p_{i}^{e_{i}}}}$, so ist
  • ${\displaystyle \sigma _{k}(n)=\prod _{i=1}^{r}\sum _{j=0}^{e_{i}}{p_{i}^{jk}}}$,
  • ${\displaystyle \sigma _{k}(n)=\prod _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{k(e_{i}+1)}-1}{p_{i}^{k}-1}}}$ für ${\displaystyle k>0}$, und für  ${\displaystyle k=0}$ gilt: ${\displaystyle \sigma _{0}(n)=\prod _{i=1}^{r}(e_{i}+1)}$.
• Die durchschnittliche Größenordnung von ${\displaystyle \sigma _{k}}$ für ${\displaystyle k>0}$ ist ${\displaystyle \sigma _{k}(n)\sim \zeta (k+1)n^{k}}$, mit der Riemannschen Zetafunktion ${\displaystyle \zeta (s)}$.
• Die durchschnittliche Größenordnung der Teileranzahlfunktion ${\displaystyle d(n):=\sigma _{0}(n)}$ ist ${\displaystyle \ln n}$. Genauer gilt mit der Eulerschen Konstanten ${\displaystyle C}$

${\displaystyle \sum _{x\leq n}d(x)=n\ln n+(2C-1)n+O({\sqrt {n}})}$.

Reihenformeln

Speziell für ${\displaystyle \sigma _{0}}$ gilt:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sigma _{0}(i)=\sum _{i=1}^{n}\left\lfloor {\frac {n}{i}}\right\rfloor }$

Dies kann man sich klarmachen, in dem man die rechte Summe als ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{i}}\right\rfloor }$ schreibt: Wenn man nun ${\displaystyle n}$ durch ${\displaystyle n+1}$ substituiert, werden genau die Summanden der Summe um 1 größer, die ${\displaystyle n+1}$ teilen.

Zwei Dirichletreihen mit der Teilerfunktion sind: (S. 285, Satz 291)

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\zeta (s-a)}$  für  ${\displaystyle s>1,\;s>a+1,}$

was speziell für d(n) = σ₀(n) ergibt:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}=\zeta ^{2}(s)}$  für  ${\displaystyle s>1}$

und (S. 292, Satz 305)

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}}.}$

Eine Lambert-Reihe mit der Teilerfunktion ist:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{a}(n)q^{n}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }n^{a}q^{kn}=\sum _{n=1}^{\infty }n^{a}{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}}$

für beliebiges komplexes |q| ≤ 1 und a.

Die Teilerfunktion lässt sich für ${\displaystyle k>0}$ mittels Ramanujansummen auch explizit als Reihe darstellen:

${\displaystyle \sigma _{k}(n)=\zeta (k+1)n^{k}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {c_{m}(n)}{m^{k+1}}}.}$

Die Berechnung der ersten Werte von ${\displaystyle c_{m}(n)}$ zeigt das Schwanken um den "Mittelwert" ${\displaystyle \zeta (k+1)n^{k}}$:

${\displaystyle \sigma _{k}(n)=\zeta (k+1)n^{k}\left[1+{\frac {(-1)^{n}}{2^{k+1}}}+{\frac {2\cos {\frac {2\pi n}{3}}}{3^{k+1}}}+{\frac {2\cos {\frac {\pi n}{2}}}{4^{k+1}}}+\cdots \right]}$

Identitäten aus der Fourierentwicklung von Eisensteinreihen

Ein wesentlicher Bestandteil der Fourierentwicklung von Eisensteinreihen von Gewicht ${\displaystyle k\geq 4}$, gerade, sind die Teilerfunktionen ${\displaystyle \sigma _{k-1}}$. Aus Relationen zwischen den Eisensteinreihen können die Werte einiger Faltungen von Teilerfunktionen hergeleitet werden, so ist zum Beispiel für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$:

${\displaystyle 120\sum _{m=1}^{n-1}\sigma _{3}(m)\sigma _{3}(n-m)=\sigma _{7}(n)-\sigma _{3}(n),}$

${\displaystyle 5040\sum _{m=1}^{n-1}\sigma _{3}(m)\sigma _{5}(n-m)=11\sigma _{9}(n)-21\sigma _{5}(n)+10\sigma _{3}(n).}$

Siehe auch

• Hochzusammengesetzte Zahl

Quellen

1. Eric W. Weisstein: Divisor Function. In: MathWorld (englisch).
2. E. Krätzel: Zahlentheorie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1981, S. 134. 
3. Godfrey Harold Hardy, E. M. Wright: Einführung in die Zahlentheorie. R. Oldenbourg, München 1958, S. 285, 292. 
4. E. Krätzel: Zahlentheorie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1981, S. 130. 
5. Tom M. Apostol: Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory. 2. Auflage. Springer-Verlag, 1990, S. 140.