Ursprungsgerade

Eine Ursprungsgerade ist in der Mathematik eine Gerade, die durch den Ursprung eines Koordinatensystems verläuft. Daher werden Ursprungsgeraden durch besonders einfache Geradengleichungen beschrieben. Die Ortsvektoren der Punkte einer Ursprungsgerade bilden einen eindimensionalen Untervektorraum des euklidischen Raums.

Ursprungsgeraden in der Ebene

Koordinatengleichungen

Legt man für die euklidischen Ebene ein kartesisches Koordinatensystem zugrunde, so besteht eine Ursprungsgerade aus denjenigen Punkten, deren Koordinaten ${\displaystyle x,y}$ die Gleichung

${\displaystyle ax+by=0}$

erfüllen; dabei sind ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ Parameter, die nicht beide gleich null sein dürfen. Für ${\displaystyle b\neq 0}$ lässt sich diese allgemeine Koordinatenform nach ${\displaystyle y}$ auflösen, wodurch man die einfachere Normalform

${\displaystyle y=mx}$

mit der Steigung ${\displaystyle m=-a/b}$ erhält.

Beispiele

Wichtige Beispiele für Ursprungsgeraden sind die beiden Koordinatenachsen (${\displaystyle x}$-Achse und ${\displaystyle y}$-Achse) mit den Geradengleichungen

${\displaystyle y=0}$   und   ${\displaystyle x=0}$.

Weitere wichtige Beispiele für Ursprungsgeraden sind die Winkelhalbierenden des I. und III. sowie des II. und IV. Quadranten mit den Geradengleichungen

${\displaystyle x-y=0}$   und   ${\displaystyle x+y=0}$.

Vektorgleichungen

Ursprungsgeraden können auch durch Vektorgleichungen beschrieben werden. In Parameterform besteht eine Ursprungsgerade dann aus denjenigen Punkten der Ebene, deren Ortsvektoren ${\displaystyle {\vec {x}}}$ die Gleichung

${\displaystyle {\vec {x}}=s{\vec {u}}}$

für ${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$ erfüllen. Die Ortsvektoren der Punkte einer Ursprungsgerade sind also skalare Vielfache des Richtungsvektors ${\displaystyle {\vec {u}}}$. Alternativ kann eine Ursprungsgerade auch in Normalenform über die Normalengleichung

${\displaystyle {\vec {n}}\cdot {\vec {x}}=0}$

angegeben werden. Hierbei stellt ${\displaystyle {\vec {n}}}$ einen Normalenvektor der Gerade und ${\displaystyle {\vec {n}}\cdot {\vec {x}}}$ das Skalarprodukt der beiden Vektoren ${\displaystyle {\vec {n}}}$ und ${\displaystyle {\vec {x}}}$ dar. Eine Ursprungsgerade besteht dann aus denjenigen Punkten der Ebene, deren Ortsvektoren senkrecht auf dem gegebenen Normalenvektor stehen.

Beispiele

Als Richtungsvektoren für die ${\displaystyle x}$-Achse und ${\displaystyle y}$-Achse bieten sich die kanonischen Einheitsvektoren ${\displaystyle {\vec {e}}_{1}=(1,0)^{T}}$und ${\displaystyle {\vec {e}}_{2}=(0,1)^{T}}$an. Damit erhält man die entsprechenden Geradengleichungen in Parameterform als

${\displaystyle {\vec {x}}=s{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$   und   ${\displaystyle {\vec {x}}=s{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$.

Die Winkelhalbierende des I. und III. sowie des II. und IV. Quadranten lassen sich lassen sich beschreiben mithilfe der Parametergleichungen

${\displaystyle {\vec {x}}=s{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}$   und   ${\displaystyle {\vec {x}}=s{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}}$.

Ursprungsgeraden im Raum

Definition

Durch Vektorgleichungen können auch Ursprungsgeraden in höherdimensionalen euklidischen Räumen beschrieben werden. In Parameterform besteht eine Ursprungsgerade mit Richtungsvektor ${\displaystyle {\vec {u}}\in \mathbb {R} ^{n}}$ dann aus denjenigen Punkten im Raum, deren Ortsvektoren ${\displaystyle {\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n}}$ die Gleichung

${\displaystyle {\vec {x}}=s{\vec {u}}}$

für ${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$ erfüllen. Eine Ursprungsgerade besteht damit wie im zweidimensionalen Fall aus allen Punkten im Raum, deren Ortsvektoren ein skalares Vielfaches des Richtungsvektors der Gerade sind. Durch eine Normalengleichung wird allerdings in drei- und höherdimensionalen Räumen keine Gerade mehr, sondern eine Hyperebene beschrieben.

Beispiele

Im dreidimensionalen Raum können die drei Koordinatenachsen mithilfe der Standard-Einheitsvektoren ${\displaystyle {\vec {e}}_{1}=(1,0,0)}$, ${\displaystyle {\vec {e}}_{2}=(0,1,0)}$ und ${\displaystyle {\vec {e}}_{3}=(0,0,1)}$ beschrieben werden:

${\displaystyle {\vec {x}}=s{\vec {e}}_{1},{\vec {x}}=s{\vec {e}}_{2}}$   und   ${\displaystyle {\vec {x}}=s{\vec {e}}_{3}}$.

Abstand eines Punkts

Der Abstand eines Punkts mit Ortsvektor ${\displaystyle {\vec {v}}}$ von einer Ursprungsgerade mit Richtungsvektor ${\displaystyle {\vec {u}}}$ beträgt ${\displaystyle |{\vec {v}}-{\vec {p}}|}$, wobei

${\displaystyle {\vec {p}}={\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {u}}}{{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}}}\,{\vec {u}}}$

der Ortsvektor des Lotfußpunkts, das heißt die Orthogonalprojektion des Vektors ${\displaystyle {\vec {v}}}$ auf die Gerade, ist.

Vektorraumstruktur

Die Vektoren in einem euklidischen Raum bilden einen Vektorraum, den sogenannten Koordinatenraum. Die Menge der Ortsvektoren der Punkte einer Ursprungsgerade bildet dabei einen Untervektorraum des euklidischen Raums

${\displaystyle U=\{{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n}\mid {\vec {x}}=s{\vec {u}}~{\text{für}}~s\in \mathbb {R} \}}$.

Dieser Untervektorraum ist gerade die lineare Hülle des Richtungsvektors ${\displaystyle {\vec {u}}}$ der Gerade. Die Ursprungsgeraden sind dabei die einzigen eindimensionalen Untervektorräume des euklidischen Raums.

Ursprungsgeraden als Schnitt von Ursprungsebenen

Die zweidimensionalen Untervektorräume des dreidimensionalen euklidischen Raums sind gerade die Ursprungsebenen. Der Schnitt zweier verschiedener Ursprungsebenen ergibt stets eine Ursprungsgerade, wobei der Richtungsvektor dieser Schnittgerade durch das Kreuzprodukt

${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {n}}_{1}\times {\vec {n}}_{2}}$

der Normalenvektoren ${\displaystyle {\vec {n}}_{1}}$ und ${\displaystyle {\vec {n}}_{2}}$ der beiden Ursprungsebenen gegeben ist. Allgemein sind die ${\displaystyle (n-1)}$-dimensionalen Untervektorräume im ${\displaystyle n}$-dimensionalen euklidischen Raum Ursprungs-Hyperebenen und der Schnitt von ${\displaystyle n-1}$ solchen Hyperebenen mit linear unabhängigen Normalenvektoren ${\displaystyle {\vec {n}}_{1},\ldots ,{\vec {n}}_{n-1}}$ ergibt stets eine Ursprungsgerade, deren Richtungsvektor durch das verallgemeinerte Kreuzprodukt

${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {n}}_{1}\times \cdots \times {\vec {n}}_{n-1}}$

gegeben ist.

Siehe auch

• Proportionalität
• Projektiver Raum

Literatur

• Kenneth Eriksson, Donald Estep, Claes Johnson: Angewandte Mathematik: Body and Soul 1. Springer, 2006, ISBN 3-540-35006-3. 
• Mike Scherfner, Torsten Volland: Mathematik für das erste Semester. Springer, 2012, ISBN 3-8274-2505-0. 

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