Zwillingsparadoxon

Das Zwillings- oder Uhrenparadoxon ist die paradox erscheinende Tatsache, dass Zwillinge nicht mehr gleich alt sind, wenn einer von einer Rundreise nach Hause zurückkehrt, während der andere zu Hause geblieben ist. Wenn der daheimgebliebene Zwilling die ganze Zeit in einem Inertialsystem in Ruhe war, ist er beim Wiedersehen auf jeden Fall älter als der zurückgekehrte. Das Zwillingsparadoxon wurde als Gedankenexperiment erstmals 1905 von Albert Einstein aus seiner damals neuen Relativitätstheorie abgeleitet. Der Effekt ist rein physikalischer Natur. Entsprechend geht auch eine Uhr auf einer Rundreise nach, wenn man sie bei der Rückkehr mit einer am Ort verbliebenen Uhr vergleicht. Der Effekt ist unmerklich klein bei Reisen mit alltagsüblichen Geschwindigkeiten, konnte jedoch erstmals 1971 im Hafele-Keating-Experiment mithilfe von Atomuhren bei einer Weltreise per Linienflugzeug nachgewiesen werden.

Überblick

Das Zwillingsparadoxon macht anschaulich greifbar, dass die Zeit keine gegebene physikalische Größe ist, die im ganzen Universum den gleichen Wert hat, und dass es von den näheren Umständen abhängt, wie schnell sie jeweils fortschreitet (siehe Zeitdilatation). Beides widerspricht der Alltagserfahrung sowie der grundlegenden Annahme einer absoluten Zeit in der klassischen Physik seit Isaac Newton. Es wurde aber seither in zahllosen physikalischen Experimenten bestätigt.

Des Weiteren scheint nach oberflächlicher Anwendung des Relativitätsprinzips zunächst ausgeschlossen, dass überhaupt ein Unterschied im Alter der Zwillinge bzw. dem Stand der Uhren entstehen soll. Dem Relativitätsprinzip zufolge sind alle physikalischen Bezugssysteme darin gleichwertig, die Folgen eines Experiments vorherzusagen. Im Bezugssystem, in dem der erste Zwilling ruht, entfernt sich der zweite zu einer Rundreise und kommt dann wieder; vom Bezugssystem des zweiten Zwillings aus gesehen ist es aber der erste, der sich wie auf einer Rundreise erst entfernt und dann zurückkehrt, so dass dieser nun der jüngere sein sollte. Diese entgegengesetzten Erwartungen an das erreichte Alter sind logisch unvereinbar, denn beim Wiedersehen kann – wenn überhaupt – nur einer der jüngere sein. Der Fehler beruht darauf, dass hier das Relativitätsprinzip falsch vereinfacht wurde. Zwar sind die Ortsveränderungen, die die beiden Zwillinge am jeweils anderen beobachten, spiegelbildlich symmetrisch zueinander. Der gesamte physikalische Vorgang ist aber nicht spiegelbildlich symmetrisch: Beim reisenden Zwilling umfasst er auch den mit Beschleunigungen und Trägheitskräften verbundenen Prozess der Richtungsumkehr, beim daheim gebliebenen nicht. Obwohl die Beschleunigung als solche den Gang der Zeit oder der Uhren gar nicht beeinflusst, macht allein dieser von beiden Zwillingen übereinstimmend beobachtbare Unterschied die naive Anwendung des Relativitätsprinzips falsch. Bei sorgfältiger Anwendung der Regeln, mit deren Hilfe man die Beobachtungen, die der eine Zwilling in seinem Bezugssystem macht, in das Bezugssystem des anderen umzurechnen hat, ergibt sich für beide Zwillinge übereinstimmend, dass der daheimgebliebene beim Wiedersehen der ältere ist.

Diese Regeln sind in der Lorentztransformation zusammengefasst, die ihrerseits eine direkte Folge des Relativitätsprinzips in Verbindung mit dem Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit ist. Aus der Lorentztransformation ergibt sich nicht nur die Zeitdilatation, sondern ganz analog auch, dass räumliche Abstände für einen Beobachter in einem bewegten Bezugssystem umso stärker verkürzt sind, je schneller sich das Bezugssystem bewegt (Lorentz-Kontraktion). Daher ist für den reisenden Zwilling die zurückgelegte Strecke kürzer als die Strecke, die der daheimgebliebene Zwilling in seinem Bezugssystem beobachtet. Da die Reisegeschwindigkeit in beiden Bezugssystemen aber denselben Wert haben muss, weil andernfalls das Relativitätsprinzip verletzt wäre, ist die Reise für den reisenden Zwilling auch schneller beendet als für den daheimgebliebenen. Folglich ist beim Zusammentreffen der beiden der reisende Zwilling weniger gealtert.

Einfaches Beispiel mit Erläuterungen

Die Reise macht Zwillinge verschieden alt

Im Einzelnen lassen sich diese Zusammenhänge an einem einfachen Beispiel gut verfolgen: Betty fliegt mit 80 % der Lichtgeschwindigkeit zu einem Stern. Ihre Zwillingsschwester Anna bleibt auf der Erde, die hier vereinfacht als ruhendes Inertialsystem angesehen werden soll. Anna weiß, dass der Stern sich in einer gleichbleibenden Entfernung von acht Lichtjahren zur Erde befindet, so dass Betty für den Hinflug zehn Jahre braucht. Betty kehrt sogleich wieder zurück, so dass Anna sie nach weiteren 10 Jahren wieder auf der Erde begrüßen kann. Anna ist 20 Jahre älter geworden, so zeigt es auch ihre Kalenderuhr an. Betty meint aber, ihre Reise habe nur 12 Jahre gedauert, und belegt dies mit ihrer genau gleichartigen Uhr, die sie mitgenommen hatte.

Berechnung des Altersunterschieds

Beide haben recht. Widersprüchlich oder paradox erscheint dies aber, wenn man – der Alltagserfahrung folgend – davon ausgeht, dass Zeit eine unbeeinflussbare physikalische Größe ist, die im ganzen Universum gleichmäßig fortschreitet. Diese Annahme ist jedoch unzutreffend, wie zuerst von Albert Einstein gezeigt worden ist. Nach der von ihm ausgearbeiteten Relativitätstheorie, die heute in zahllosen Beobachtungen bestätigt ist, muss für jedes gleichförmig bewegte Bezugssystem eine eigene Zeit angesetzt werden. Dabei sind die Zeiten verschiedener Bezugsysteme einander gleichberechtigt, keine ist einer „wirklichen“ Zeit näher als die andere, denn eine solche universelle Zeit kann es gar nicht geben. Auf einen bestimmten Zeitablauf können sich Anna und Betty nur einigen, wenn sie relativ zueinander in Ruhe sind. Nur dann gehen auch ihre Uhren gleich schnell. Solange aber Betty sich mit einer Geschwindigkeit ${\displaystyle v\neq 0}$ entfernt oder nähert, läuft ihre Zeit, also auch ihre Uhr, im Vergleich zur Zeit von Annas Ruhesystem um den Faktor

${\displaystyle \gamma ^{-1}={\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}$

langsamer (siehe relativistische Zeitdilatation, ${\displaystyle c}$ ist die Lichtgeschwindigkeit). Dieser Faktor ist der Kehrwert des in der Relativitätstheorie häufig anzuwendenden Lorentzfaktors ${\displaystyle \gamma }$. Für kleine Geschwindigkeiten (${\displaystyle v\ll c}$) ist der Faktor praktisch gleich 1, die resultierende Auswirkung also nicht spürbar, er kann bei Annäherung an die Lichtgeschwindigkeit aber sehr klein werden. Mit dem gleichen Faktor sind die auch räumliche Abstände kürzer, wenn sie in einem bewegten Bezugssystem bestimmt werden (Lorentzkontraktion).

Für das Beispiel wurde eine bei Raketenreisen technisch unrealistisch große Geschwindigkeit ${\displaystyle v=0{,}8c}$ gewählt, um die Folgen zu verdeutlichen. Bettys Zeit geht demnach um den Faktor

${\displaystyle \gamma ^{-1}={\sqrt {1-0{,}8^{2}}}={\sqrt {0{,}36}}=0{,}6}$

langsamer als die Zeit von Anna. Sowohl für den Hinflug als auch für den Rückflug braucht Betty in ihrer eigenen Zeit nicht 10 Jahre, sondern nur ${\displaystyle 0{,}6\cdot 10=6}$ Jahre. So ergibt sich, dass bei der Rückkehr die Uhr in Bettys Rakete nur 12 Jahre vorangeschritten ist, während ihre Abwesenheit in der Erdzeit ausgedrückt für Anna 20 Jahre dauerte. Sämtliche Vorgänge aller Arten, die zwischen Abflug und Rückkehr passieren, haben für Anna insgesamt 20 Jahre gedauert, für Betty nur 12. So ist zum Beispiel auch Anna 20 Jahre älter geworden, Betty nur 12. Sobald aber Anna und Betty wieder ein gemeinsames Ruhesystem haben und gleichzeitig ihre Uhren ablesen können, vergeht die Zeit für beide wieder gleich schnell.

Warum ist nicht Anna nun auch die jüngere von beiden?

Aus dem entstandenen Altersunterschied ergibt sich ein zweiter Aspekt des Paradoxons: Sollte nun nicht auch Anna jünger sein als Betty? Von Betty aus gesehen ist es doch die auf der Erde bleibende Schwester Anna, die sich von ihr erst entfernt und dann zu ihr zurückkommt. Dann sollte es aufgrund derselben Überlegungen wie oben doch umgekehrt Anna sein, die nun jünger ist als Betty. Aber dass jede von beiden die Jüngere sein soll, ist logisch unmöglich. Für die Auflösung dieses Paradoxons ist zu beachten, dass der Lorentzfaktor für die Berechnung benötigt wird, mit der man die Raum-Zeit-Koordinaten desselben Ereignisses von einem Bezugssystem ins andere übersetzt, während wirkliche Paradoxien nur entstehen, wenn gemachte Beobachtungen einander widersprechen.

Die Beobachtungen von Anna und Betty sind konsistent

Um das näher auszuführen, nehmen wir an, dass Anna und Betty mithilfe von Teleskopen gegenseitig ihre Uhren beobachten können. Wenn Betty im Jahr 2000 gestartet ist, kommt sie nach Annas Zeitskala 2010 am Stern an. Wenn sich auf dem Stern, der relativ zur Erde ja in Ruhe ist, eine dritte Uhr befände, würde sie die Zeit von Annas Bezugssystem anzeigen, also das Jahr 2010. Bettys Uhr zeigt bei Ankunft am selben Ort dann aber das Jahr 2006. Der Unterschied zur auf dem Stern ruhenden Uhr ist die mit dem Lorentzfaktor berechnete relativistische Zeitdilatation. Sehen kann Anna die Ankunft von Betty am Stern wegen der Laufzeit des Lichts aber erst 8 Jahre später, für sie also im Jahr 2018. Eine schnellere Übertragung des Bildes zu Erde ist physikalisch unmöglich. Demnach beobachtet Anna, dass der Hinflug ihrer Schwester 18 Jahre dauert, dreimal länger als die 6 Jahre, die Anna dafür auf Bettys Uhr abliest. Der Unterschied zur reinen Zeitdilatation entsteht durch den Doppler-Effekt. Nach der Klassischen Physik erzeugt er, wenn der Abstand zunimmt, in den Beobachtungen eine Zeitdehnung um den Faktor ${\displaystyle (1-v/c)}$, und für die relativistische Berechnung muss noch die Zeitdilatation mit dem oben genannten Lorentzfaktor ${\displaystyle 1/{\sqrt {1-({\tfrac {v}{c}})^{2}}}}$ berücksichtigt werden. Das Produkt aus beiden Faktoren ist ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {c-v}{c+v}}}}$ und hat hier den Wert 1/3. Das heißt: Wenn Anna einen Vorgang in Bettys Rakete beobachtet, dann läuft er in ihrer Wahrnehmung dreimal langsamer ab, als Betty es in ihrem Ruhesystem beobachtet. Das gilt auch umgekehrt: Wenn Betty in ihrem Jahr 2006 am Stern ankommt, ist es bei Anna das Jahr 2010, aber das Bild von Annas Uhr, das Betty bei ihrer Landung am Stern empfängt, war schon 8 Jahre früher gesendet worden. Daher sieht Betty Annas Uhr, wie diese das Jahr 2002 anzeigt. Auch Betty beobachtet also, dass Annas Uhr dreimal langsamer geht als ihre eigene. Wenn Betty danach zurückfliegt, was nach ihrer Zeit 6 Jahre dauert, kehrt sich der Dopplerfaktor um (weil in der Formel das Vorzeichen von ${\displaystyle v}$ wechselt): Jetzt sieht Betty Annas Uhr und alle anderen Vorgänge bei Anna nicht dreimal langsamer laufen als ihre eigene, sondern dreimal schneller. Zum Beispiel sieht Betty während des Rückflugs, der nach ihrer Zeit 6 Jahre dauert, die Erde nicht 6 mal um die Sonne kreisen, sondern 18 mal. Wenn Betty dann auf der Erde landet, weiß sie, dass dort das Jahr 2020 ist, dass also Anna 20 Jahre älter geworden ist, sie selbst aber nur 12. Es gibt keinen Widerspruch zwischen den Beobachtungen von Anna und Betty.

Warum ergeben sich nicht spiegelbildlich gleiche Vorhersagen für beide?

Es liegt aber immer noch der Eindruck nahe, dass man nur den Standpunkt zu wechseln braucht, um zu dem logisch widersinnigen Schluss zu kommen, dass auch Anna beim Wiedersehen die jüngere sein müsste. Denn genauso wie es in Annas Ruhesystem Betty ist, die eine Rundreise macht, so macht in Bettys Ruhesystem Anna (zusammen mit der ganzen Erde) eine Rundreise. Die beiden Reisen scheinen vielleicht oberflächlich betrachtet spiegelbildlich gleich auszusehen. Tatsächlich bestehen aber wesentliche physikalische Unterschiede. Zum einen dauert es für Anna von Betty aus gesehen nicht 10, sondern nur 6 Jahre, bis sie den Umkehrpunkt erreicht und nach weiteren 6 Jahren zu ihr zurückkommt. Bei der Geschwindigkeit ${\displaystyle v=0{,}8c}$ ist Annas Umkehrpunkt in Bettys Ruhesystem demnach nicht 8 Lichtjahre entfernt (wie Bettys Umkehrpunkt für Anna), sondern nur ${\displaystyle 6\cdot 0{,}8=4{,}8}$ Lichtjahre. Die Formeln der Relativitätstheorie lassen Betty dann erwarten, dass Anna um denselben Faktor 0,6 (siehe oben) weniger gealtert ist als sie (Betty) selbst, also nur um ${\displaystyle 12\cdot 0{,}6=7{,}2}$ Jahre.

Diese Formeln gelten aber nur für die Beziehungen zwischen je zwei Inertialsystemen, also Bezugssystemen, die sich nur mit konstanter Geschwindigkeit gegeneinander bewegen. Nun ist es aber logisch unmöglich, dass beide Schwestern die ganze Zeit in je einem Inertialsystem in Ruhe waren. Eine von beiden muss ihr Inertialsystem verlassen haben, zum Beispiel in ein drittes mit entgegengesetzt gerichteter Geschwindigkeit umgestiegen sein, sonst könnten sie sich gar nicht wieder an einem Ort treffen. Beim Wiedersehen können sich Anna und Betty auch gemeinsam davon überzeugen, dass nur Betty diesen Wechsel gemacht hat, denn er geht unweigerlich mit beobachtbaren Effekten wie Beschleunigung und Trägheitskräften einher. Zum Beispiel ist bei Betty, als ihre Rakete (in Annas Ruhesystem) wendete, ein Teller vom Tisch gerutscht, bei Anna zuhause (als sie in Bettys Ruhesystem „wendete“) nicht. Das Relativitätsprinzip würde in der einfachen Form anwendbar sein, wenn beide nicht nur die entgegengesetzt gleichen Ortsveränderungen erlebt hätten (was schon nicht erfüllt ist, s. o.), sondern auch die entgegengesetzt gleichen Beschleunigungen. Wenn sie zum Beispiel von der Erde gleichzeitig und mit gleicher Beschleunigung und Geschwindigkeit in entgegengesetzte Richtungen losfliegen, nach derselben Zeit wenden und auch gleichzeitig wieder zurückkommen – dann wären sie bei der Ankunft tatsächlich gleich alt.

Die Beschleunigungen markieren den Unterschied, sind aber selbst nicht die wirksame Ursache

Dabei sind es aber nicht die Beschleunigungen selbst, die als physikalische Ursache die Verlangsamung des Zeitablaufs bewirken. Das zeigt sich etwa nach einer kleinen Änderung von Bettys Reiseplan: Betty bleibt nach dem Abschied von Anna noch 19 Jahre auf der Erde, startet und beschleunigt auf ihre Reisegeschwindigkeit ${\displaystyle v=0{,}8c}$. Dann wendet sie aber schon nach so kurzer Zeit, dass sie genau wie ursprünglich geplant nach 20 Erdjahren wieder auf der Erde landet. Sie ist dann seit dem Abschied von Anna nicht bloß 12 Jahre gealtert, sondern fast 20 Jahre, denn schon beim Start waren ja 19 Jahre vergangen. Sie hat aber die gleichen Beschleunigungen erlebt wie auf der ursprünglich geplanten Reise bis zum Stern und zurück, auf der sie nur 12 Jahre älter geworden wäre. Daher können nicht die Beschleunigungen selbst die physikalische Ursache des verschiedenen Alterns der beiden Zwillinge sein, sondern die erreichte Geschwindigkeit und die Dauer der Reise.

Experimentelle Bestätigung

Das Zwillingsparadoxon beruht auf der relativistischen Zeitdilatation, die ihrerseits in vielen Experimenten geprüft wurde. Im folgenden werden nur zwei Experimente dargestellt, die sich eng an das Szenario des Zwillingsparadoxons anlehnen, aber große Unterschiede in der Reisegeschwindigkeit und in der zurückgelegten Strecke zeigen.

Hafele-Keating-Experiment

→ Hauptartikel: Hafele-Keating-Experiment

Im Jahr 1971 flogen Joseph C. Hafele und Richard E. Keating von Washington, D.C. aus mit Linienflugzeugen auf etwa 30° nördlicher Breite zweimal rund um die Erde, einmal ostwärts und einmal westwärts. Auf ihren Nachbarsitzen reisten vier Cäsium-Atomuhren mit, gebucht auf den Namen „Mr. Clock“. Vor, zwischen und nach den beiden Rundflügen verglichen sie den Uhrenstand mit dem Mittelwert aus einigen Dutzend Atomuhren, die in Washington, D.C., fest am Ort blieben und das offizielle Zeitzeichen der USA definierten. Zum idealen Szenario des Zwillingsparadoxons gibt es dabei einige wichtige Unterschiede:

• Die „ortsfesten“ Atomuhren ruhen hier in einem erdfesten Bezugssystem. Daher befinden sie sich nicht in Ruhe, sondern nehmen an den Umdrehungen der Erde um sich selbst und – weniger wichtig – an ihrem Umlauf um die Sonne teil. Im Bezugssystem mit ruhender Sonne, das einem Inertialsystem erheblich näherkommt, starten die „ortsfesten“ und die um die Erde geflogenen Uhren von einem bestimmten Punkt aus und kommen zwei Tage später nach verschieden langen Reisen an einem anderen Punkt wieder zusammen. Die in Washington gebliebenen Uhren haben dann durch die Drehung der Erde zwei mal die Erde umrundet, die ostwärts geflogenen Uhren einmal mehr, ihre Reise ist also eine Erdumrundung länger. Die westwärts geflogenen Uhren umrunden die Erde einmal weniger, ihre Reise ist also um eine Erdumrundung kürzer. Nach der Vorhersage der speziellen Relativitätstheorie gehen dann die ostwärts geflogenen Uhren im Vergleich zu den in Washington gebliebenen um ca. 184 Nanosekunden (ns) nach, die westwärts geflogenen Uhren um 96 ns vor. Die Zeitdilatation fällt so gering aus, weil die Fluggeschwindigkeit viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit ist, nur etwa der Millionste Teil.
• Der Gang der Uhren im Flugzeug wird nicht nur verlangsamt, wie es die Zeitdilatation der speziellen Relativitätstheorie angibt, sondern auch beschleunigt, weil sich nach der allgemeinen Relativitätstheorie schon in der normalen Flughöhe das höhere Gravitationspotential auswirkt. Die ostwärts geflogenen Uhren werden demnach um 144 ns beschleunigt, die westwärts geflogenen um 179 ns (die Routen, Höhen und Dauern der Flüge waren nicht genau gleich).

Gemäß der Summe beider theoretischen Vorhersagen sollten die ostwärts geflogenen Uhren (mit Unsicherheitsgrenzen) um 40 ± 23 ns nachgehen, die westwärts geflogenen um 275 ± 21 ns vorgehen. Solche Zeitdifferenzen gegenüber den ortsfesten Uhren ließen sich 1971 an den transportablen Atomuhren nicht zweifelsfrei ablesen, denn diese driften nicht nur aus unbeherrschbaren Ursachen zwischen 20 und 50 ns pro Tag auseinander, sondern lassen auch die Driftraten immer wieder mal auf einen unvorhersagbaren neuen Wert springen. Daher wurde für jede der vier geflogenen Uhren vor und nach jedem Flug die Konstanz der Driftrate über 1–2 Wochen überprüft. Für jede dieser Uhren wurde aus den voranstehenden Beobachtungen extrapoliert, welche Zeit sie zum Zeitpunkt der Landung anzeigen würde, wenn sie nicht geflogen wäre. Daraus wurden die Zeitdifferenzen zu dem Mittelwert der Anzeige der ortsfesten Uhren bestimmt. Der Mittelwert der Differenzen war −59 ± 10 ns Verzögerung für die Reise ostwärts, und 273 ± 7 ns Beschleunigung für die Reise westwärts. Das bedeutet gute Übereinstimmung mit der theoretischen Vorhersage, womit das Zwillingsparadoxon experimentell bestätigt war.

1. Ob der Zwilling nach seiner Rundreise mit Sicherheit jünger ist als der Zwilling, der auf der Erde zu Hause geblieben war, hängt daher von der Reiseroute ab. Nur wenn einer der beiden in einem Inertialsystem in Ruhe war, ist die Antwort so eindeutig wie im Zwillingsparadoxon formuliert.

Myonen-Speicherring-Experiment

Ein Myon ist ein kurzlebiges Elementarteilchen, das sich mit einer Halbwertszeit von 1,7 Mikrosekunden (μs) in ein hochenergetisches Elektron umwandelt. 1975 wurde bei CERN ein Strahl aus Myonen künstlich so erzeugt, dass sie 99,94 % der Lichtgeschwindigkeit hatten. Durch eine enge Blende flogen sie in einen Speicherring ein. Ein kleiner Teil der Myonen prallte dabei aber auf das Blendenmaterial und wurde darin schnell gestoppt. Danach ruhten sie und zeigten die erwartete Umwandlung in Elektronen. Diese wurden in einem benachbarten Detektor gezählt. Die Zählrate nahm, wie erwartet, mit der Halbwertszeit 1,7 μs ab. Dies ist die Halbwertszeit der ruhenden Myonen.

Die durch die Blende hindurch geflogenen Myonen wurden im Speicherring durch starke Magnetfelder auf einen 45 m langen Rundkurs geführt, so dass sie alle 150 Nanosekunden (ns) wieder nahe an der Eintrittsstelle vorbeikamen, um sogleich die nächste Runde anzutreten. Diese Myonen zeigten eine 30fach verlängerte Halbwertszeit. Der Faktor 30 ist genau der oben erwähnte inverse Lorentzfaktor passend zur Myonengeschwindigkeit ${\displaystyle v=0{,}9994\,c}$. Z. B. hatte sich nach 10 μs Laborzeit die Anzahl ruhenden Myonen schon ${\displaystyle 6}$ mal halbiert, so dass nur noch ${\displaystyle {\tfrac {1}{64}}\;[=({\tfrac {1}{2}})^{6}]}$ von ihnen übrig waren. Die fliegenden Myonen hingegen hatten zwar schon 66 Runden vollendet, dafür aber in ihrer Zeit nur ${\displaystyle {\tfrac {10{\text{μs}}}{30}}={\tfrac {1}{3}}{\text{μs}}}$ gebraucht. Dementsprechend waren noch 85 % von ihnen vorhanden. (Eine mitfliegende Uhr würde dann auch nicht 10 μs Flugzeit anzeigen, sondern nur ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}{\text{μs}}}$.)

Zum idealen Szenario des Gedankenexperiments besteht hier der Unterschied, dass man an einem einzelnen Myon so etwas wie „Altern“ überhaupt nicht feststellen kann, denn anders als Uhren oder Menschen bleiben Elementarteilchen sich in allen inneren physikalischen Eigenschaften völlig gleich (siehe auch Identische Teilchen). Die Lebenszeitverlängerung durch die hohe Fluggeschwindigkeit kommt nicht dadurch zustande, dass irgendwelche inneren Prozesse, die im Myon den Zerfall vorbereiten würden, langsamer ablaufen, denn da gibt es keine Prozesse. Dass ihre Halbwertszeit 30-mal länger geworden ist, liegt daran, dass es die Zeit selbst ist, die vom Bezugssystem des Labors aus betrachtet wegen der Zeitdilatation im mitfliegenden Bezugssystem 30-mal langsamer vergeht.

Die relativistischen Formeln für die Zeitdilatation wurden durch dieses Experiment mit einer Genauigkeit von 0,2 % bestätigt. Das zeigt auch, dass der Gang der Zeit durch eine Beschleunigung als solche nicht beeinflusst wird, denn die Myonen im Speicherring unterlagen einer Zentripetalbeschleunigung von etwa 10¹⁸g.

Ursprüngliche Fassung des Zwillingsparadoxons

Albert Einstein wies im Jahre 1905 darauf hin, dass eine Uhr, die sich von einem beliebigen Punkt entfernt und dorthin zurückkehrt, gegenüber einer am Ausgangspunkt zurückgelassenen unbewegten Uhr nachgeht. 1911 dehnte er diese Überlegung auf lebende Organismen aus:

„Wenn wir z. B. einen lebenden Organismus in eine Schachtel hineinbrächten und ihn dieselbe Hin- und Herbewegung ausführen liessen wie vorher die Uhr, so könnte man es erreichen, dass dieser Organismus nach einem beliebig langen Fluge beliebig wenig geändert wieder an seinen ursprünglichen Ort zurückkehrt, während ganz entsprechend beschaffene Organismen, welche an den ursprünglichen Orten ruhend geblieben sind, bereits längst neuen Generationen Platz gemacht haben. Für den bewegten Organismus war die lange Zeit der Reise nur ein Augenblick, falls die Bewegung annähernd mit Lichtgeschwindigkeit erfolgte! Dies ist eine unabweisbare Konsequenz der von uns zugrunde gelegten Prinzipien, die die Erfahrung uns aufdrängt.“

– Albert Einstein: Die Relativitäts-Theorie

Noch im selben Jahr formulierte auch Paul Langevin das Paradoxon:

„Es würde genügen, dass unser Reisender sich bereit erklärt, sich in ein Geschoss zu setzen, das von der Erde mit einer Geschwindigkeit abgeschossen wird, die nahe an der Lichtgeschwindigkeit liegt [...] Er kehrt zur Erde zurück, gealtert um zwei Jahre, steigt aus seiner Arche und findet unseren Globus um zweihundert Jahre gealtert, wenn seine Geschwindigkeit nur um ein Zwanzigtausendstel unter der Lichtgeschwindigkeit liegt.“

– Paul Langevin: L'évolution de l'espace et du temps.

Mathematische Behandlung: Die Metrik der Raumzeit verursacht den Gangunterschied der Uhren

In Newtons Vorstellung gibt es einen absoluten Raum mit der uns vertrauten euklidischen Abstandsmessung und einer absoluten Zeit, Raum und Zeit sind nicht miteinander verwoben. Die absolute Zeit verstreicht in Newtons Vorstellung für jeden Beobachter gleich, unabhängig von seinem Ort und seinem Bewegungszustand. Einstein hat das Newtonsche Paradigma jedoch mit seiner Relativitätstheorie verworfen, jeder Beobachter hat seine eigene „persönliche“ Zeit, die sog. Eigenzeit, die dadurch zustande kommt, dass Raum und Zeit über die Minkowski-Metrik untrennbar miteinander zu einer Einheit verknüpft sind, der sog. Raumzeit.

Hierbei ist eine Metrik eine Vorschrift, die festlegt, wie Abstände im zugrundeliegenden Raum gemessen werden. Die euklidische Metrik ${\displaystyle d^{2}=(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}$ etwa bestimmt, wie räumliche Abstände ${\displaystyle d}$ in der Ebene zu messen sind; diese pythagoreische Addition lernt man schon in der Schule. Die Minkowski-Metrik ${\displaystyle \tau ^{2}}$ in der 4-dimensionalen Raumzeit bestimmt, wie Raumzeitabstände ${\displaystyle \tau }$ zu messen sind. In der Minkowski-Metrik stellt die Naturkonstante ${\displaystyle c}$, die Lichtgeschwindigkeit, den Umrechnungsfaktor dar, der die Zeitachse formal in eine Raumachse konvertiert. Im einfachsten Fall von zwei Dimensionen (man bewegt sich räumlich nur in einer Dimension) ist die Minkowski-Metrik ${\displaystyle \tau ^{2}}$ gegeben durch eine der pythagoreischen Addition ähnliche Vorschrift (jedoch mit einem Minuszeichen):

${\displaystyle (c\tau )^{2}=(c\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}}$ bzw. (wenn man ${\displaystyle c=1}$ setzt) durch ${\displaystyle \tau ^{2}=(\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}}$.

Graphisch kann man die Raumzeit im 2-dimensionalen Fall durch ein Minkowski-Diagramm darstellen (vgl. Abb. 1, unteres Bild); dies ist letztlich ein gewöhnliches Weg-Zeit-Diagramm, in dem die Zeitachse mit dem Umrechnungsfaktor multipliziert und für raumzeitliche Abstandsmessungen die Minkowski-Metrik verwendet wird. Raumzeitpunkte im Minkowski-Diagramm nennt man Ereignisse und Kurven Weltlinien. Die „Länge“ ${\displaystyle \tau }$ einer zeitartigen Weltlinie heißt Eigenzeit und gibt die Zeitspanne an, die für einen Beobachter, dessen Bewegung in der Raumzeit durch diese Weltlinie beschrieben wird, gemäß einer von ihm mitgeführten Uhr zwischen Anfangs- und Endpunkt der Weltlinie gemessen wird (vgl. Abb. 2). Zeitartig bedeutet hierbei vereinfacht ausgedrückt, dass der Beobachter sich stets mit Unterlichtgeschwindigkeit bewegt. Die Winkelhalbierenden (und Geraden parallel dazu) sind Weltlinien von Photonen (Licht).

Hervorzuheben ist, dass nicht das Diagramm selbst die Besonderheit darstellt, sondern die Art der raumzeitlichen Abstandsmessung. Folgendes gilt:

1. Eigenzeiten ${\displaystyle \tau }$ für zeitartige Weltlinien, die sich aus Geradenstücken zusammensetzen, werden mit obiger Formel für jedes Geradenstück einzeln berechnet und dann aufsummiert.

2. Zwei zeitartige Weltlinien mit gleichem Anfangs- und Endpunkt haben identische Eigenzeiten, wenn ihre Zusammensetzung aus Geradenstücken übereinstimmt (vgl. Abb. 2).

Analoge Eigenschaften gelten ebenso für die Länge von Kurven in der euklidischen Ebene. Der Vorzeichenwechsel zwischen zeitlichen und räumlichen Komponenten in der Minkowski-Metrik (siehe obige Formel) allerdings – dieser kleine Unterschied gegenüber der euklidischen Abstandsmessung (vgl. Abb. 1) – impliziert folgende aufgrund unser euklidischen Denkgewohnheiten kontraintuitive Eigenschaft der Minkowski-Geometrie (also der speziellen Relativitätstheorie):

3. Von zwei zeitartigen Weltlinien mit gleichem Anfangs- und Endpunkt im Minkowski-Diagramm, hat die optisch länger wirkende („euklidische Wahrnehmung“) einen kleineren Raumzeitabstand bzgl. der Minkowski-Metrik, d. h. eine kürzere Eigenzeit (vgl. Abb. 1).

Die Minkowski-Metrik ist Stand heute die angemessene geometrische Beschreibung für unser Universum, wenn man es als global flach annimmt (bei Beschränkung auf kurze Zeitspannen und räumlich kleine Umgebungen stellt die Minkowski-Metrik oft eine hinreichend gute Näherung dar; man sagt dazu: das Universum ist lokal flach und kann lokal näherungsweise durch die Minkowski-Geometrie beschrieben werden).

Der Vorzeichenwechsel in der Minkowski-Metrik ist somit Ursache dafür, dass die Weltlinie des gereisten Zwillings bzgl. der Minkowski-Metrik (d. h. seine Eigenzeit) kürzer ist als die des daheimgebliebenen und der gereiste Zwilling somit weniger altert als der daheimgebliebene.

Beispiel zur Berechnung von Eigenzeiten und Gangunterschied der Uhren

Im Folgenden werden die Eigenzeiten ${\displaystyle \tau }$ für die Weltlinien vom auf der Erde verbleibenden Alan und dem gereisten Bob beispielhaft gemäß Abb. 3 berechnet; hierbei reise Bob mit 80 % Lichtgeschwindigkeit an einen 4 Lichtjahre entfernten Ort und kehre dann augenblicklich mit gleicher Geschwindigkeit zurück. Die Raumzeitpunkte ${\displaystyle (t|x)}$ seien also ${\displaystyle p=(0|0),r=(5|4),q=(10|0)}$.

Alans Weltlinie setzt sich aus nur einem Geradenstück ${\displaystyle {\overline {pq}}}$ zusammen. Für die Ereignisse ${\displaystyle p=(0|0)}$ und ${\displaystyle q=(10|0)}$ beträgt die Zeitdifferenz ${\displaystyle \Delta t=10-0=10}$ und die räumliche Differenz ${\displaystyle \Delta x=0-0=0}$. Mit obiger Formel und c=1 erhält man

${\displaystyle \tau ({\overrightarrow {pq}})={\sqrt {(\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}}}={\sqrt {10^{2}-0^{2}}}=10}$

Alans Eigenzeit ${\displaystyle \tau ({\text{Alan}})=10}$ stimmt mit der Koordinatenzeit (= was man an der Zeitachse abliest) im Minkowski-Diagramm von Abb. 3 überein. Das liegt daran, dass dieses Koordinatensystem mit Alans Inertialsystem übereinstimmt.

Gemäß Newtons absolutem Zeitbegriff dürfte man die für Bob während seiner Reise verstrichene Zeit ebenfalls an dieser Zeitachse ablesen; gemäß Einsteins Relativitätstheorie ist jedoch stattdessen Bobs Eigenzeit zu verwenden. Diese lässt sich für ein Geradenstück dennoch recht einfach mit an diesem Koordinatensystem ablesbaren Daten berechnen, nämlich indem man Zeit- und Ortsdifferenz ${\displaystyle \Delta t}$ bzw. ${\displaystyle \Delta x}$ aus Anfangs- und Endpunkt des Geradenstücks bildet und in die obige Formel für ${\displaystyle \tau }$ einsetzt.

Bobs Weltlinie setzt sich aus zwei Geradenstücken zusammen, welche durch die Raumzeitpunkte ${\displaystyle p,r}$ und ${\displaystyle q}$ festgelegt sind. Für das Geradenstück ${\displaystyle {\overline {rq}}}$ erhält man aus den Raumzeitpunkten ${\displaystyle (t|x)}$ durch Differenzbildung: ${\displaystyle {\overrightarrow {rq}}=q-r=(\Delta t|\Delta x)=(10-5|0-4)=(5|-4)}$. Bobs Eigenzeit für das Geradenstück ${\displaystyle {\overline {rq}}}$ lautet daher

${\displaystyle \tau ({\overrightarrow {rq}})={\sqrt {(\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}}}={\sqrt {5^{2}-(-4)^{2}}}=3}$.

Bobs Eigenzeit für das Geradenstück ${\displaystyle {\overline {pr}}}$ ist identisch. Da sich die Eigenzeit einer aus Geradenstücken zusammengesetzten Weltlinie durch Aufsummieren ergibt, erhält man für Bobs Eigenzeit ${\displaystyle \tau ({\text{Bob}})=3+3=6}$. Somit gilt

${\displaystyle \tau ({\text{Alan}})=\tau ({\overrightarrow {pq}})=10>\underbrace {\tau ({\overrightarrow {pr}})} _{=3}+\underbrace {\tau ({\overrightarrow {rq}})} _{=3}=6=\tau ({\text{Bob}})}$

Mit einem Altersunterschied von 4 Jahren ist Bob langsamer gealtert als sein daheim gebliebener Zwilling Alan. Man sieht: Bei Alan wird nichts abgezogen, weil er sich in der Raumzeit nicht in x-Richtung, sondern nur in t-Richtung „bewegt“. Bob hat Bewegungsanteile in x-Richtung und macht „Umwege“, darum verringert sich seine Eigenzeit.

Die hier stehende Ungleichung ist ein konkretes Beispiel für die in Minkowski-Räumen geltende inverse Dreiecksungleichung. Diese ist zunächst ein rein mathematischer Lehrsatz. Im physikalischen Zusammenhang liefert sie den Grund für den Gangunterschied der Uhren. Eine Ganggleichheit kann nur eintreten, wenn die Ereignisse p, r und q auf einer Geraden liegen.

Rolle der Beschleunigung

In Lehre und Literatur wird teils behauptet, dass die mehrfachen Beschleunigungen bzw. Bezugssystemwechsel Grund für das langsamere Altern des gereisten Zwillings seien. Das ist jedoch nicht richtig. Die Inkorrektheit dieser Behauptung kann man mithilfe des Gegenbeispiels aus Abb. 4 einsehen, in welchem das Gedankenexperiment aus Abb. 3 folgendermaßen abgewandelt wird:

Statt des geradlinigen Weges in der Raumzeit werden für Alan „Umwege“ in Form der gleichen Beschleunigungsphasen wie für Bob angenommen (nur zu anderen Zeitpunkten); alle übrigen Daten werden aus vorangehendem Beispiel übernommen. Die Beschleunigungsphasen für Alan seien gemäß Abb. 4 durch die Ereignisse ${\displaystyle a_{1}=(4|0),a_{2}=(5|0{,}8),a_{3}=(6|0)}$ gegeben. Das heißt: 4 Jahre nach Abflug von Bob bricht auch Alan auf und entfernt sich mit 80 % Lichtgeschwindigkeit um 0,8 Lichtjahre von der Erde, kehrt dann mit gleicher Geschwindigkeit zurück und wartet anschließend auf Bob, der dieselbe Reise wie vorher unternimmt. Damit berechnet man für Alans Weltlinie „mit Umwegen“

${\displaystyle \tau ({\overrightarrow {pa_{1}}})=\tau ({\overrightarrow {a_{3}q}})=4}$, ${\displaystyle \tau ({\overrightarrow {a_{1}a_{2}}})=\tau ({\overrightarrow {a_{2}a_{3}}})={\sqrt {1^{2}-0{,}8^{2}}}=0{,}6}$ ${\displaystyle \Rightarrow \tau ({\text{Alan mit Umwegen}})=4+0{,}6+0{,}6+4=9{,}2}$

Ein Vergleich zeigt ${\displaystyle \tau ({\text{Alan mit Umwegen}})=9{,}2>6=\tau ({\text{Bob}})}$, d. h. Bob ist mit einem Altersunterschied von 3,2 Jahren langsamer gealtert als Alan – und zwar trotz identischer Beschleunigungsphasen bzw. Bezugssystemwechsel. Dies widerlegt obige Behauptung.

Solange die „Umwege“ in Alans Weltlinie nicht zu groß werden, bleibt Bobs Eigenzeit kürzer als Alans. Die eigentliche Ursache für Bobs langsameres Altern ist also, dass er „größere Umwege“ in der Raumzeit als Alan nimmt, um vom Raumzeitpunkt p zum Raumzeitpunkt q zu gelangen. Beschleunigungen spielen zwar insofern auch eine sekundäre Rolle, als dass „Umwege“ natürlich nur möglich sind, wenn längs der Weltlinie Beschleunigungen stattfinden (bzw. insofern als dass ohne sie keine Rückkehr möglich wäre); aber sie sind nicht der eigentliche Grund, denn Alan und Bob haben in dem konstruierten Gedankenexperiment (Abb. 4) genau die gleichen Beschleunigungsphasen.

Siehe auch

• Garagenparadoxon
• Bellsches Raumschiffparadoxon

Literatur

• Roman Sexl, Herbert Kurt Schmidt: Raum – Zeit – Relativität. Relativistische Phänomene in Theorie und Beispiel. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 2001, ISBN 3-528-37236-2, Kapitel 5.2–5.4. 
• Sean M. Carroll: The Biggest Ideas in the Universe: Space, Time and Motion. Penguin Random House, San Francisco 2022, ISBN 978-0-593-18658-9, S. 145 ff. 
• Rainer Oloff: Geometrie der Raumzeit. 6. Auflage. Springer, 2018, ISBN 978-3-662-56736-4, S. 148 ff. 
• Sean M. Carroll: Spacetime and Geometry. Addison-Wesley, San Francisco 2004, ISBN 0-8053-8732-3, S. 9 ff.