Faktorregel

Die Faktorregel ist eine Regel zur Ableitung einer Funktion der Form ${\displaystyle f(x)=k\cdot u(x)}$, wobei ${\displaystyle k}$ eine reelle Zahl und ${\displaystyle u(x)}$ eine differenzierbare Funktion ist. In Kurzschreibweise lautet sie

${\displaystyle (k\cdot u)'=k\cdot u'}$.

Der konstante Faktor ${\displaystyle k}$ bleibt also beim Differenzieren erhalten. Die Faktorregel folgt direkt aus der Definition der Ableitung, kann aber auch als Spezialfall der Produktregel aufgefasst werden.

Aussage

Ist eine Funktion ${\displaystyle u}$ an der Stelle ${\displaystyle x_{0}}$ differenzierbar und ${\displaystyle k}$ eine reelle Zahl, so ist auch die Funktion ${\displaystyle f}$ mit ${\displaystyle f(x)=k\cdot u(x)}$ an der Stelle ${\displaystyle x_{0}}$ differenzierbar, und es gilt

${\displaystyle f'(x_{0})=k\cdot u'(x_{0})\,.}$

Beispiel

Die Funktion ${\displaystyle f(x)=5x^{2}}$ setzt sich aus ${\displaystyle u(x)=x^{2}}$ und dem konstanten Faktor ${\displaystyle k=5}$ zusammen. Es ist ${\displaystyle u'(x)=2x}$ und mit der Faktorregel folgt

${\displaystyle f'(x)=5\cdot 2x=10x}$.

Herleitungen

Algebraische Herleitung

Sei ${\displaystyle u}$ eine von ${\displaystyle x}$ abhängige Funktion und die Funktion ${\displaystyle f}$ das ${\displaystyle k}$-fache von ${\displaystyle u}$, das heißt ${\displaystyle f=k\cdot u}$. Ändert sich die unabhängige Variable um ${\displaystyle \Delta x}$, so ändert sich ${\displaystyle u}$ um ${\displaystyle \Delta u}$ und ${\displaystyle f}$ entsprechend um das ${\displaystyle k}$-fache, das heißt es ist ${\displaystyle \Delta f=k\cdot \Delta u}$. Hieraus folgt, indem man durch ${\displaystyle \Delta x}$ teilt, die Gleichung

${\displaystyle {\frac {\Delta f}{\Delta x}}=k\cdot {\frac {\Delta u}{\Delta x}}}$.

Lässt man nun ${\displaystyle \Delta x\to 0}$ gehen, so erhält man die Faktorregel.

Geometrische Herleitung

Der Graph von ${\displaystyle f=k\cdot u}$ geht aus dem Graphen von ${\displaystyle u}$ durch Streckung in ${\displaystyle y}$-Richtung um den Streckfaktor ${\displaystyle k}$ hervor. Jedes Steigungsdreieck wird dabei ebenfalls in ${\displaystyle y}$-Richtung gestreckt, wodurch sich die Länge der ${\displaystyle y}$-Kathete ver-${\displaystyle k}$-facht, während die ${\displaystyle x}$-Kathete unverändert bleibt. Da diese Ver-${\displaystyle k}$-fachung für alle Steigungsdreiecke gilt, bleibt er auch erhalten, wenn man beliebig kleine Steigungsdreiecke betrachtet und schließlich den Grenzübergang bildet, also von den Sekantensteigungen zur Tangentensteigung übergeht.

Beweis

Sei ${\displaystyle u(x)}$ bei ${\displaystyle x_{0}}$ differenzierbar und ${\displaystyle f(x)=k\cdot u(x)}$. Dann konvergiert ${\textstyle {\frac {u(x)-u(x_{0})}{x-x_{0}}}}$ für ${\displaystyle x\to x_{0}}$ gegen ${\displaystyle u'(x_{0})}$. Nach den Grenzwertsätzen konvergiert dann aber auch ${\textstyle k\cdot {\frac {u(x)-u(x_{0})}{x-x_{0}}}}$ für ${\displaystyle x\to x_{0}}$, und zwar gegen ${\displaystyle k\cdot u'(x_{0})}$. Damit folgt

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {k\cdot u(x)-k\cdot u(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{x\to x_{0}}k\cdot {\frac {u(x)-u(x_{0})}{x-x_{0}}}=k\cdot u'(x_{0}).}$

Siehe auch

• Summenregel
• Produktregel
• Quotientenregel
• Umkehrregel
• Kettenregel

Literatur

Greefrath et al.: Didaktik der Analysis. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-48876-8, S. 167–168.