Quotientenregel

Die Quotientenregel ist eine grundlegende Regel der Differentialrechnung. Mit ihr wird die Ableitung eines Quotienten von Funktionen aus den Ableitungen der einzelnen Funktionen berechnet. In Kurzschreibweise lautet sie

${\displaystyle \left({\frac {u}{v}}\right)'={\frac {u'\cdot v-u\cdot v'}{v^{2}}}}$

Aussage

Sind die Funktionen ${\displaystyle u(x)}$ und ${\displaystyle v(x)}$ von einem Intervall ${\displaystyle D}$ in die reellen oder komplexen Zahlen an einer Stelle ${\displaystyle x_{0}\in D}$ mit ${\displaystyle v(x_{0})\neq 0}$ differenzierbar, dann ist auch die Funktion ${\displaystyle f}$ mit

${\displaystyle f(x):={\frac {u(x)}{v(x)}}}$

an der Stelle ${\displaystyle x_{0}}$ differenzierbar und es gilt

${\displaystyle f'(x_{0})={\frac {u'(x_{0})\cdot v(x_{0})-u(x_{0})\cdot v'(x_{0})}{(v(x_{0}))^{2}}}}$.

Beispiele

• Für ${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}-1}{2-3x}}}$ mit ${\displaystyle u(x)=x^{2}-1}$ und ${\displaystyle v(x)=x^{2}-1}$ erhält man für ${\textstyle x\neq {\frac {2}{3}}}$ durch Anwendung der Quotientenregel

${\displaystyle f'(x)={\frac {2x\cdot (2-3x)-(x^{2}-1)\cdot (-3)}{(2-3x)^{2}}}}$.

Ausmultiplizieren und Zusammenfassen von Termen ergibt

${\displaystyle f'(x)={\frac {-3\cdot x^{2}+4\cdot x-3}{(2-3x)^{2}}}}$.

• Die Ableitung des Tangens kann bestimmt werden, wenn die Ableitung von Sinus und Kosinus bekannt ist. Aus der Beziehung ${\displaystyle \tan(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}}$ folgt für alle ${\displaystyle \cos(x)\neq 0}$ mit der Quotientenregel

${\displaystyle \tan '(x)={\frac {\cos(x)\cdot \cos(x)-\sin(x)\cdot (-\sin(x))}{(\cos(x))^{2}}}={\frac {\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}}$.

Beweise

Beweis mit Steigungsdreieck

Der Quotient ${\displaystyle u(x) \over v(x)}$ kann als Steigung in einem Steigungsdreieck gedeutet werden, dessen Katheten ${\displaystyle u(x)}$ und ${\displaystyle v(x)}$ sind (siehe Abbildung). Wenn ${\displaystyle x}$ um ${\displaystyle \Delta x}$ anwächst, ändert sich ${\displaystyle u}$ um ${\displaystyle \Delta u}$ und ${\displaystyle v}$ um ${\displaystyle \Delta v}$. Die Änderung der Steigung ist dann

${\displaystyle {\begin{aligned}{\Delta \left({u \over v}\right)}&={{{u+\Delta u} \over {v+\Delta v}}-{u \over v}}\\&={{(u+\Delta u)\cdot v-u\cdot (v+\Delta v)} \over {(v+\Delta v)\cdot v}}\\&={{\Delta u\cdot v-u\cdot \Delta v} \over {v^{2}+\Delta v\cdot v}}.\end{aligned}}}$

Dividiert man durch ${\displaystyle \Delta x}$, so folgt

${\displaystyle {{\Delta \left({u \over v}\right)} \over {\Delta x}}={{{\Delta u \over \Delta x}\cdot v-u\cdot {\Delta v \over \Delta x}} \over {v^{2}+\Delta v\cdot v}}.}$

Bildet man nun den Grenzübergang ${\displaystyle \Delta x\to 0}$, so folgt

${\displaystyle {\left({u \over v}\right)'}={{u'\cdot v-u\cdot v'} \over {v^{2}}}.}$

Beweis mit der Kehrwertregel

Für ${\displaystyle f(x)={\frac {u(x)}{v(x)}}=u(x)\cdot {\frac {1}{v(x)}}}$ gilt nach der Produktregel

${\displaystyle f'(x)=u'(x)\cdot {\frac {1}{v(x)}}+u(x)\cdot \left({\frac {1}{v(x)}}\right)'}$.

Mit der Kehrwertregel

${\displaystyle \left({\frac {1}{v(x)}}\right)'=-{\frac {v'(x)}{v^{2}(x)}}}$

folgt hieraus

${\displaystyle f'(x)=u'(x)\cdot {\frac {1}{v(x)}}+u(x)\cdot \left(-{\frac {v'(x)}{v^{2}(x)}}\right)={\frac {u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{v^{2}(x)}}}$.

Beweis mit der Produktregel

Eine alternativer Beweis gelingt allein mit der Produktregel durch Ableiten der Funktionsgleichung ${\displaystyle f(x)\cdot v(x)=u(x)}$. Allerdings wird hierbei implizit vorausgesetzt, dass ${\displaystyle f(x)}$ überhaupt eine Ableitung besitzt, das heißt, dass ${\displaystyle f'(x)}$ existiert. Aus

${\displaystyle f'(x)\cdot v(x)+f(x)\cdot v'(x)=u'(x)}$

folgt

${\displaystyle f'(x)={\frac {u'(x)-f(x)\cdot v'(x)}{v(x)}}={\frac {u'(x)-{\frac {u(x)}{v(x)}}\cdot v'(x)}{v(x)}}={\frac {u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{v^{2}(x)}}}$.

Siehe auch

• Kehrwertregel
• Produktregel
• Faktorregel
• Summenregel
• Kettenregel
• Umkehrregel

Literatur

Die Quotientenregel für Funktionen wird in fast jedem Buch erläutert, das die Differentialrechnung in allgemeiner Form behandelt. Einige konkrete Beispiele sind:

• Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 7. Auflage. Vieweg, Braunschweig 2004, ISBN 3-528-67224-2, S. 155–157 (Auszug (Google))
• Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4, S. 129
• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 1980, ISBN 3-519-02221-4 (17. aktualisierte Auflage. ebenda 2009, ISBN 978-3-8348-0777-9), S. 270–271 (Auszug (Google))